一个均匀带电的介质球，求内介电常数为 varepsilon ，球外为空气，球内电荷密度为 rho_(0) ，球半径为a，求球外的电场强度E的分布为()。A. (rho_(0)a)/(3varepsilon_(0)r^2)B. (rho_(0)a^3)/(3varepsilon_(0)r^2)C. (rho_(0)a^3)/(3varepsilon r^2)D. (rho_(0)a^3)/(3varepsilon_(0)r)

本题考查高斯定理在求解均匀带电介质球电场分布问题中的应用。解题的关键思路是利用高斯定理，通过选取合适的高斯面来计算电场强度。

步骤一：分析问题并选取高斯面

由于均匀带电介质球具有球对称性，我们选取一个半径为 $r$（$r \gt a$，即球外），与带电球同心的球面作为高斯面。根据高斯定理，通过闭合曲面的电通量 $\varPhi_E$ 等于该闭合曲面所包围的总电荷量 $Q_{enc}$ 除以真空介电常数 $\varepsilon_0$，即 $\varPhi_E=\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$。

步骤二：计算高斯面内的总电荷量 $Q_{enc}$

因为我们要求的是球外（$r \gt a$）的电场强度，所以高斯面所包围的总电荷量就是整个介质球的电荷量。介质球的体积为 $V = \frac{4}{3}\pi a^3$，已知球内电荷密度为 $\rho_0$，根据电荷量 $Q=\rho V$，可得高斯面内的总电荷量为：
$Q_{enc}=\rho_0 V=\rho_0\times\frac{4}{3}\pi a^3$

步骤三：计算通过高斯面的电通量 $\varPhi_E$

由于电场具有球对称性，在高斯面上各点的电场强度大小相等，方向沿径向。所以 $\vec{E}$ 与 $d\vec{S}$ 的夹角为 $0^{\circ}$，则 $\vec{E}\cdot d\vec{S}=E dS$。
通过高斯面的电通量为：
$\varPhi_E=\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\oint_{S}E dS$
因为 $E$ 在高斯面上大小处处相等，可将 $E$ 提出积分号外，即 $\varPhi_E = E\oint_{S}dS$。
而 $\oint_{S}dS$ 就是高斯面的面积，半径为 $r$ 的球面面积为 $S = 4\pi r^2$，所以 $\varPhi_E = E\times 4\pi r^2$。

步骤四：根据高斯定理求解电场强度 $E$

将 $\varPhi_E = E\times 4\pi r^2$ 和 $Q_{enc}=\rho_0\times\frac{4}{3}\pi a^3$ 代入高斯定理 $\varPhi_E=\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$ 中，可得：
$E\times 4\pi r^2=\frac{\rho_0\times\frac{4}{3}\pi a^3}{\varepsilon_0}$
两边同时约去 $4\pi$，得到：
$E r^2=\frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0}$
然后求解 $E$，可得：
$E=\frac{\rho_0 a^3}{3\varepsilon_0 r^2}$