.29-3 均匀磁场B被限制在半径 R=10cm 的无限长圆柱空间内,方向-|||-垂直纸面向里.取一固定的等腰梯形回路abcd,梯形所在平面的法向与圆柱 b×-|||-R-|||-空间的轴平行,位置如图所示.设磁感强度以 dB/dt=1T/s 匀速率增加,已 0

本题主要考察法拉第电磁感应定律在非均匀磁场中的应用，关键在于明确感生电动势的大小等于磁通量变化率的绝对值，方向由楞次定律判断。

步骤11：确定研究对象与磁场分布

磁场被限制在半径$R=10\,\text{cm$的无限长圆柱内，方向垂直纸面向里，且$\frac{\text dB}{\text dt}=1\,\text T/\text{/}s$（均匀增加）。梯形$abcd$所在平面与圆柱轴平行，需计算梯形内的磁通量变化引起的感生电动势。

步骤2：等效回路转化

根据法拉第定律，感生电动势仅与回路包围的磁通量变化率相关，与回路形状无关。梯形$abcd$可等效为大扇形$Oab$减去小扇形$(Ocd$（$O$为圆柱中心），因$Oa=Ob=6\,\text{cm}

步骤3：计算磁通量变化率

扇形面积公式

等腰梯形的顶角$\theta=\frac{\pi}{3}$，，则：

• 大扇形$扇形Oab$面积：$S_1=\frac{1}{2}R_1^2\theta$（$\(R_1=Oa=6\,\text{cm}=0.06\,\text m$）
• 小$扇形Ocd$面积：$S_2=\frac{1}{2}R_2^2\theta$（$R_2$为$Oc=Od$，，由几何关系$R_2=R_1\cos\theta=0$？不，题目中$|Oa|=|Ob|=6\,\text{cm}$，梯形为等腰梯形，$abcd$，则$Oc=Od=Oa\cos\theta=6\cos\frac{\pi}{3}=3\,\text{cm}$）

磁通量变化率

磁通量$\Phi=BS$，则$\left|\frac{\text d\Phi\text dt\right|=\left|\fractext dB\text dt\right|\cdot\Delta S$，其中$\Delta S=S_1S_1-S_2$为梯形面积：
$\Delta S=\frac{1}{2}\theta(R_1^2-R_2^2)=\frac{1}{2}\theta R_1^2(1-\cos^2\theta)=\frac{1}{2}\theta R_1^2\sin^2\theta$
代入$\theta=\frac{\pi}{3}$，$\(R_1=0.06\,\text m$，$\frac{\text dB}{\text dt}=1\,\text T/\text s$：
$\left|\mathcal{E}\right|=1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot(0.06)^2\cdot\sin^2\frac{\pi}{3}}$
计算得：
$\sin\frac{\pi/3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad\sin^2\frac{\pi}{3}=\frac{3}{4}$
$\left|\mathcal{E}\right|=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot0.036\cdot\frac{3}{4}=\frac{\pi\cdot0036}{8}\approx0.00368\,\text V=3.68\,\text{mV}$

步骤4：判断ff方向判断

由楞次定律，磁场向里增强，感应电流磁场向外，根据右手定则，等效回路$adcb$绕向（与扇形$Oab$同向）产生向外磁场，故感生电动势沿$adcb$绕向。