题目
一长为L,质量为M的匀质细杆可绕通过其一端的轴在铅直面内自由旋转。杆的另一端固定一质量也为M的靶，初状态静止。今有一质量为m的子弹以速度v垂直地射向靶，穿过靶后速度降至v/2问：欲使细杆与靶在垂直面内作一完整的圆周运动，子弹的速度v最小应为多少?
一长为L,质量为M的匀质细杆可绕通过其一端的轴在铅直面内自由旋转。杆的另一端固定一质量也为M的靶，初状态静止。今有一质量为m的子弹以速度v垂直地射向靶，穿过靶后速度降至v/2问：欲使细杆与靶在垂直面内作一完整的圆周运动，子弹的速度v最小应为多少?
题目解答
答案
答案：v=4M/(m√2gL)
解析：子弹与靶作用动量守恒，且损失的机械能按题目中的条件算出，靶获得速度后根据机械能守恒，摆到最高点速度为零，可以算出作用后的靶的速度，求得：v=4M/(m√2gL)
解析
步骤 1：子弹与靶作用动量守恒
子弹与靶作用时，由于子弹穿过靶后速度降至v/2，根据动量守恒定律，可以得到子弹与靶作用后的速度关系。设子弹穿过靶后靶的速度为v'，则有：
mv = m(v/2) + Mv'
步骤 2：计算靶获得的速度
根据步骤1中的动量守恒方程，可以解出靶获得的速度v'：
mv = m(v/2) + Mv'
mv - m(v/2) = Mv'
mv/2 = Mv'
v' = mv/(2M)
步骤 3：根据机械能守恒计算子弹的速度v
靶获得速度v'后，细杆与靶在垂直面内作一完整的圆周运动，根据机械能守恒定律，可以得到子弹的速度v与靶的速度v'之间的关系。设细杆与靶的转动惯量为I，则有：
1/2 mv^2 = 1/2 I(v')^2 + MgL
其中，I = 1/3 ML^2，代入上式，可以得到：
1/2 mv^2 = 1/2 (1/3 ML^2)(mv/(2M))^2 + MgL
化简上式，可以得到子弹的速度v：
v = 4M/(m√2gL)
子弹与靶作用时，由于子弹穿过靶后速度降至v/2，根据动量守恒定律，可以得到子弹与靶作用后的速度关系。设子弹穿过靶后靶的速度为v'，则有：
mv = m(v/2) + Mv'
步骤 2：计算靶获得的速度
根据步骤1中的动量守恒方程，可以解出靶获得的速度v'：
mv = m(v/2) + Mv'
mv - m(v/2) = Mv'
mv/2 = Mv'
v' = mv/(2M)
步骤 3：根据机械能守恒计算子弹的速度v
靶获得速度v'后，细杆与靶在垂直面内作一完整的圆周运动，根据机械能守恒定律，可以得到子弹的速度v与靶的速度v'之间的关系。设细杆与靶的转动惯量为I，则有：
1/2 mv^2 = 1/2 I(v')^2 + MgL
其中，I = 1/3 ML^2，代入上式，可以得到：
1/2 mv^2 = 1/2 (1/3 ML^2)(mv/(2M))^2 + MgL
化简上式，可以得到子弹的速度v：
v = 4M/(m√2gL)