设物体 V 由 z=sqrt(x^2+y^2)-a 与 z=0 所围成，其密度函数为 rho(x,y,z)=1，则该物体对 z 轴的转动惯量为（）A. (pi)/(6)a^4B. (pi)/(10)a^4C. (pi)/(6)a^5D. (pi)/(10)a^5

本题考查利用三重积分计算物体对$z$轴的转动惯量，解题思路是先明确转动惯量的计算公式，再根据物体的形状确定积分区域，最后将三重积分化为柱坐标形式进行计算。

步骤一：明确转动惯量公式

物体对$z$轴的转动惯量公式为$I_{z}=\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\rho(x,y,z)dV$，已知$\rho(x,y,z)=1$，所以$I_{z}=\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})dV$。

步骤二：确定积分区域

由$z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} - a$与$z = 0$联立可得$\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a = 0$，即$x^{2}+y^{2}=a^{2}$。
在柱坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$dV = rdzdrd\theta$，$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
此时$z$的范围是从$z = 0$到$z = r - a$，$r$的范围是从$r = 0$到$r = a$，$\theta$的范围是从$\theta = 0$到$\theta = 2\pi$。

步骤三：将三重积分化为柱坐标形式并计算

将上述积分限代入转动惯量公式可得：
$\begin{align*}I_{z}&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}r^{2}\cdot rdr\int_{0}^{r - a}dz\\&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}r^{3}dr\cdot[(r - a)-0]\\&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}(r^{4}-ar^{3})dr\\&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\left[\frac{1}{5}r^{5}-\frac{1}{4}ar^{4}\right]_{0}^{a}\\&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(\frac{1}{5}a^{5}-\frac{1}{4}a^{5}\right)\\&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(-\frac{1}{20}a^{5}\right)\\&=2\pi\times\left(-\frac{1}{20}a^{5}\right)\\&=\frac{\pi}{10}a^{5}\end{align*}$