竖直上抛一小球,设空气阻力大小恒定。比较小球上升到最高点的时间t_1与下落到抛出点的时间t_2,应是()。A. t_1 > t_2B. 无法判断C. t_1 D. t_1 = t_2

本题考查竖直上抛运动以及牛顿第二定律的应用，解题思路是分别分析小球上升和下降过程中的受力情况，根据牛顿第二定律求出加速度，再结合运动学公式比较上升和下降时间。

1. 分析小球上升过程

• 小球上升时，受到竖直向下的重力$mg$和竖直向下的空气阻力$f$，根据牛顿第二定律$F = ma$，此时合力$F_1=mg + f$，则上升时的加速度$a_1$为：
  $a_1=\frac{F_1}{m}=\frac{mg + f}{m}=g+\frac{f}{m}$
• 设上升的最大高度为$h$，根据运动学公式$v^2 - v_0^2 = 2ax$（上升到最高点时末速度$v = 0$），可得$0 - v_0^2 = 2a_1h$，即$h=-\frac{v_0^2}{2a_1}=-\frac{v_0^2}{2(g + \frac{f}{m})}$。
• 再根据运动学公式$v = v_0 + at$（上升到最高点时末速度$v = 0$），可得$0 = v_0 + a_1t_1$，则上升时间$t_1$为：
  $t_1=-\frac{v_0}{a_1}=-\frac{v_0}{g+\frac{f}{m}}$

2. 分析小球下降过程

• 小球下降时，受到竖直向下的重力$mg$和竖直向上的空气阻力$f$，此时合力$F_2=mg - f$，则下降时的加速度$a_2$为：
  $a_2=\frac{F_2}{m}=\frac{mg - f}{m}=g-\frac{f}{m}$
• 下降过程中，根据运动学公式$h = v_0t+\frac{1}{2}at^2$（下降的初速度$v_0 = 0$），可得$h=\frac{1}{2}a_2t_2^2$，将$h=-\frac{v_0^2}{2(g + \frac{f}{m})}$代入可得：
  $-\frac{v_0^2}{2(g + \frac{f}{m})}=\frac{1}{2}(g - \frac{f}{m})t_2^2$
  $t_2^2=\frac{-v_0^2}{(g + \frac{f}{m})(g - \frac{f}{m})}=\frac{-v_0^2}{g^2 - (\frac{f}{m})^2}$
  $t_2=\sqrt{\frac{-v_0^2}{g^2 - (\frac{f}{m})^2}}$

3. 比较$t_1$和$t_2$的大小

因为$a_1 = g+\frac{f}{m}\gt a_2 = g-\frac{f}{m}$，且上升和下降的位移大小相等，根据$h = v_0t+\frac{1}{2}at^2$可知，加速度越大，运动时间越短，所以$t_1 \lt t_2$。