题目
如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度沿垂直于导线的方向离开导线．设t=0时，线圈位于图示位置，求： 在图示位置时矩形线圈中的电动势ε
如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度
沿垂直于导线的方向离开导线．设t=0时，线圈位于图示位置，求：
在图示位置时矩形线圈中的电动势ε
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁通量
根据安培环路定理，长直导线周围的磁场强度为 $B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$r$ 是到导线的距离。矩形线圈的面积为 $l(b-a)$，其中 $l$ 是线圈的长度，$b$ 和 $a$ 分别是线圈的远端和近端到导线的距离。因此，穿过线圈的磁通量为 $\phi =\int B\cdot dA=\int_{a}^{b}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}l\cdot dr=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\ln \dfrac{b}{a}$。
步骤 2：计算电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的电动势为 $\varepsilon =-\dfrac{d\phi }{dt}$。由于线圈以匀速度 $v$ 沿垂直于导线的方向离开导线，因此 $b$ 和 $a$ 都随时间线性增加，即 $b=b_{0}+vt$ 和 $a=a_{0}+vt$，其中 $b_{0}$ 和 $a_{0}$ 是初始位置。因此，$\dfrac{d\phi }{dt}=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\dfrac{d}{dt}\ln \dfrac{b}{a}=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\dfrac{1}{b-a}\dfrac{d}{dt}(b-a)=\dfrac{{\mu }_{0}Ilv}{2\pi (b-a)}$。因此，电动势为 $\varepsilon =-\dfrac{d\phi }{dt}=\dfrac{{\mu }_{0}Ilv}{2\pi (b-a)}$。
根据安培环路定理，长直导线周围的磁场强度为 $B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$r$ 是到导线的距离。矩形线圈的面积为 $l(b-a)$，其中 $l$ 是线圈的长度，$b$ 和 $a$ 分别是线圈的远端和近端到导线的距离。因此，穿过线圈的磁通量为 $\phi =\int B\cdot dA=\int_{a}^{b}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}l\cdot dr=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\ln \dfrac{b}{a}$。
步骤 2：计算电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的电动势为 $\varepsilon =-\dfrac{d\phi }{dt}$。由于线圈以匀速度 $v$ 沿垂直于导线的方向离开导线，因此 $b$ 和 $a$ 都随时间线性增加，即 $b=b_{0}+vt$ 和 $a=a_{0}+vt$，其中 $b_{0}$ 和 $a_{0}$ 是初始位置。因此，$\dfrac{d\phi }{dt}=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\dfrac{d}{dt}\ln \dfrac{b}{a}=\dfrac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\dfrac{1}{b-a}\dfrac{d}{dt}(b-a)=\dfrac{{\mu }_{0}Ilv}{2\pi (b-a)}$。因此，电动势为 $\varepsilon =-\dfrac{d\phi }{dt}=\dfrac{{\mu }_{0}Ilv}{2\pi (b-a)}$。