欧姆定律的微分形式为______，焦耳定律的微分形式为______。

欧姆定律的微分形式描述了导体内部任意一点的电流密度与该点电场强度之间的关系。其数学表达式为：

$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$

其中：

• $\mathbf{J}$ 是电流密度矢量，

• $\sigma$ 是电导率，

• $\mathbf{E}$ 是电场强度矢量。

该式表明，在线性导体媒质中，电流密度与电场强度成正比，方向相同，比例系数为电导率。

焦耳定律的微分形式则描述了单位体积内电流通过导体时产生的热功率。其数学表达式为：

$p = \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$

其中：

• $p$ 是单位体积内的热功率（即焦耳热功率密度），

• $\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$ 是电流密度与电场强度的标量积。

该式可由宏观焦耳定律 $Q = I^2 R t$ 推导而来，微观上反映了电能转化为热能的速率分布。

综上，两个微分形式分别从微观角度刻画了电流与电场、电能耗散之间的关系。

答案：

欧姆定律的微分形式为 $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$，焦耳定律的微分形式为 $p = \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$。