题目
填空题（共13题，100.0分）21.（8.0分）求微分方程y^prime=e^x-4的通解=____.
填空题（共13题，100.0分）
21.（8.0分）求微分方程$y^{\prime}=e^{x}-4$的通解=____.
题目解答
答案
为了求解微分方程 $ y' = e^x - 4 $ 的通解，我们需要对等式两边关于 $ x $ 进行积分。以下是解题步骤：
1. 从给定的微分方程开始：
\[
y' = e^x - 4
\]
2. 对等式两边关于 $ x $ 进行积分：
\[
\int y' \, dx = \int (e^x - 4) \, dx
\]
3. 左边的积分结果是 $ y $，因为 $ y' $ 是 $ y $ 关于 $ x $ 的导数：
\[
y = \int (e^x - 4) \, dx
\]
4. 现在，对右边进行积分。 $ e^x $ 的积分是 $ e^x $，而 $ -4 $ 的积分是 $ -4x $。别忘了在积分结果中加上积分常数 $ C $：
\[
y = e^x - 4x + C
\]
因此，微分方程 $ y' = e^x - 4 $ 的通解是：
\[
\boxed{e^x - 4x + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查一阶可分离变量微分方程的解法，核心是通过积分求解通解。
解题思路：
- 识别方程类型：方程 $y' = e^x - 4$ 是关于 $y$ 的一阶线性微分方程，且变量已分离（$y'$ 直接表示为 $x$ 的函数）。
- 积分法求解：对等式两边直接积分，左边积分 $\int y' \, dx$ 得到 $y$，右边积分 $\int (e^x - 4) \, dx$。
- 积分常数：积分后需添加任意常数 $C$，体现通解的普遍性。
关键点：
- 积分运算的正确性，特别是对 $e^x$ 和常数项的积分。
- 通解的形式必须包含积分常数 $C$。
-
写出微分方程：
$y' = e^x - 4$ -
对两边积分：
$\int y' \, dx = \int (e^x - 4) \, dx$ -
计算左边积分：
左边 $\int y' \, dx = y$（因为 $y'$ 是 $y$ 对 $x$ 的导数）。 -
计算右边积分：
- $\int e^x \, dx = e^x$
- $\int (-4) \, dx = -4x$
- 积分常数：加上任意常数 $C$。
-
合并结果：
$y = e^x - 4x + C$