一质点作简谐振动，周期为T，在t时刻它在平衡位置，且向x轴负方向运动，试求它回到正向最大位移一半处所需要的最短时间？请写出必要的解题过程，清晰拍照上传后提交。

本题考查简谐振动的运动学方程及求解特定位移对应的时间。解题思路如下：

1. 首先根据简谐振动的一般形式写出位移方程，再结合初始条件确定方程中的参数。
2. 然后将目标位移代入位移方程，求解出对应的相位。
3. 最后根据相位与角速度的关系求出时间，并找出最短时间。

详细解答

1. 确定简谐振动的位移方程：
   简谐振动的位移方程一般形式为$x = A\cos(\omega t+\varphi)$，其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\varphi$为初相位。
   已知周期为$T$，根据角频率与周期的关系$\omega=\frac{2\pi}{T}$。
   在$t = 0$时刻，质点在平衡位置，即$x(0)=0$，代入位移方程可得$0 = A\cos(\varphi)$，则$\cos(\varphi)=0$，解得$\varphi=\pm\frac{\pi}{2}$。
   又因为此时质点向$x$轴负方向运动，即$v(0)<0$，对位移方程求导可得速度方程$v = -A\omega\sin(\omega t+\varphi)$，将$t = 0$代入速度方程得$v(0)= -A\omega\sin(\varphi)<0$，所以$\sin(\varphi)>0$，故$\varphi=\frac{\pi}{2}$。
   那么位移方程为$x = A\cos(\omega t+\frac{\pi}{2})$，根据三角函数诱导公式$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin\alpha$，可得$x = -A\sin(\omega t)$。
2. 求解回到正向最大位移一半处的时间：
   当$x=\frac{A}{2}$时，代入位移方程$\frac{A}{2} = -A\sin(\omega t)$，两边同时除以$-A$可得$\sin(\omega t)=-\frac{1}{2}$。
   根据正弦函数的性质，$\sin\theta=-\frac{1}{2}$时，$\theta = 2k\pi+\frac{7\pi}{6}$或$\theta = 2k\pi+\frac{11\pi}{6},k\in Z$，这里$\theta=\omega t$，所以$\omega t = 2k\pi+\frac{7\pi}{6}$或$\omega t = 2k\pi+\frac{11\pi}{6},k\in Z$。
   因为我们求的是回到正向最大位移一半处所需要的最短时间，所以取$k = 0$，即$\omega t = \frac{7\pi}{6}$或$\omega t = \frac{11\pi}{6}$。
   将$\omega=\frac{2\pi}{T}$代入$\omega t = \frac{7\pi}{6}$，可得$\frac{2\pi}{T}t = \frac{7\pi}{6}$，两边同时除以$\frac{2\pi}{T}$，解得$t = \frac{7T}{12}$；
   将$\omega=\frac{2\pi}{T}$代入$\omega t = \frac{11\pi}{6}$，可得$\frac{2\pi}{T}t = \frac{11\pi}{6}$，两边同时除以$\frac{2\pi}{T}$，解得$t = \frac{11T}{12}$。
   比较$\frac{7T}{12}$和$\frac{11T}{12}$的大小，$\frac{7T}{12}<\frac{11T}{12}$，所以最短时间为$t = \frac{7T}{12}$。