可见光的波长范围是400 nm ~760 nm.用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时,它产生的不与另一级光谱重叠的完整的可见光光谱是第____级光谱。(1 nm =10-9 m)

考查要点：本题主要考查光栅衍射中光谱重叠条件的判断，需要结合光栅方程和可见光波长范围进行分析。

解题核心思路：

1. 光栅方程：$d \sin \alpha = k \lambda$，其中$d$为光栅常数，$\alpha$为衍射角，$k$为级数，$\lambda$为波长。
2. 关键条件：某级光谱不与其他级重叠，且覆盖完整可见光谱（400 nm ~ 760 nm）。
3. 核心判断：当$k=1$时，可见光的最大波长$760$ nm对应的$\sin \alpha$不超过$k=2$级的最小波长$400$ nm对应的$\sin \alpha$，从而避免重叠；同时，若光栅常数$d$足够大，$k=1$级可覆盖整个可见光谱。

光栅方程与级数分析

根据光栅方程$d \sin \alpha = k \lambda$，同一级$k$中不同波长$\lambda$对应不同的$\alpha$。

• 第$k$级光谱范围：$\sin \alpha_{\text{min}} = \frac{k \cdot 400}{d}$，$\sin \alpha_{\text{max}} = \frac{k \cdot 760}{d}$。
• 避免重叠条件：第$k$级的最大$\sin \alpha$不超过第$k+1$级的最小$\sin \alpha$，即：
  $\frac{k \cdot 760}{d} \leq \frac{(k+1) \cdot 400}{d}.$
  化简得：$760k \leq 400(k+1)$，解得$k \leq \frac{400}{360} \approx 1.11$，故$k=1$。

完整光谱条件

当$k=1$时，若$d \geq 760$ nm，则$\sin \alpha_{\text{max}} = \frac{760}{d} \leq 1$，可见光谱完整呈现。
更高级（如$k=2$）需满足$d \geq 2 \cdot 760 = 1520$ nm，但此时$k=2$级的最小波长对应$\sin \alpha = \frac{2 \cdot 400}{d}$，若$d$不足，可能导致部分波长无法出现，光谱不完整。