题目
(7)从一大批螺丝钉中随机地取9枚，测得其长度为x_(1),x_(2),...,x_(9)，并算得sum_(i=1)^nx_(i)=27，sum_(i=1)^9x_(i)^2=83.设钉子的长度服从N(mu,sigma^2)，mu,sigma均未知，试分别求mu与sigma^2的置信水平为0.95的置信区间.
(7)从一大批螺丝钉中随机地取9枚，测得其长度为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{9}$，并算得$\sum_{i=1}^{n}x_{i}=27$，$\sum_{i=1}^{9}x_{i}^{2}=83$.设钉子的长度服从$N(\mu,\sigma^{2})$，$\mu,\sigma$均未知，试分别求$\mu$与$\sigma^{2}$的置信水平为0.95的置信区间.
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
\[
\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{27}{9} = 3
\]
2. **计算样本方差**：
\[
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{8} \left( \sum x_i^2 - n\overline{x}^2 \right) = \frac{1}{8} (83 - 81) = 0.25
\]
\[
s = \sqrt{s^2} = 0.5
\]
3. **求 $\mu$ 的置信区间**：
\[
\left( \overline{x} - t_{0.025}(8) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{0.025}(8) \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \approx (2.616, 3.384)
\]
其中，$t_{0.025}(8) \approx 2.306$。
4. **求 $\sigma^2$ 的置信区间**：
\[
\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}(8)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}(8)} \right) \approx (0.114, 0.917)
\]
其中，$\chi^2_{0.025}(8) \approx 17.535$，$\chi^2_{0.975}(8) \approx 2.180$。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\mu 的置信区间： & (2.616, 3.384) \\
\sigma^2 的置信区间： & (0.114, 0.917) \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过所有样本值的总和除以样本数量来计算。给定 $\sum_{i=1}^{9}x_{i}=27$ 和样本数量 $n=9$，我们有：
\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{9}x_{i}}{n} = \frac{27}{9} = 3 \]
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $s^2$ 可以通过公式 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$ 来计算。给定 $\sum_{i=1}^{9}x_{i}^{2}=83$，我们有：
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{9}x_{i}^{2} - n\overline{x}^2 \right) = \frac{1}{8} (83 - 9 \times 3^2) = \frac{1}{8} (83 - 81) = \frac{2}{8} = 0.25 \]
\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0.25} = 0.5 \]
步骤 3：求 $\mu$ 的置信区间
$\mu$ 的置信区间可以通过公式 $\left( \overline{x} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$ 来计算，其中 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的 $\alpha/2$ 分位数。给定 $\alpha = 0.05$，我们有：
\[ t_{0.025}(8) \approx 2.306 \]
\[ \left( 3 - 2.306 \times \frac{0.5}{\sqrt{9}}, 3 + 2.306 \times \frac{0.5}{\sqrt{9}} \right) \approx (2.616, 3.384) \]
步骤 4：求 $\sigma^2$ 的置信区间
$\sigma^2$ 的置信区间可以通过公式 $\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right)$ 来计算，其中 $\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布的 $\alpha/2$ 和 $1-\alpha/2$ 分位数。给定 $\alpha = 0.05$，我们有：
\[ \chi^2_{0.025}(8) \approx 17.535 \]
\[ \chi^2_{0.975}(8) \approx 2.180 \]
\[ \left( \frac{8 \times 0.25}{17.535}, \frac{8 \times 0.25}{2.180} \right) \approx (0.114, 0.917) \]
样本均值 $\overline{x}$ 可以通过所有样本值的总和除以样本数量来计算。给定 $\sum_{i=1}^{9}x_{i}=27$ 和样本数量 $n=9$，我们有：
\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{9}x_{i}}{n} = \frac{27}{9} = 3 \]
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $s^2$ 可以通过公式 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$ 来计算。给定 $\sum_{i=1}^{9}x_{i}^{2}=83$，我们有：
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{9}x_{i}^{2} - n\overline{x}^2 \right) = \frac{1}{8} (83 - 9 \times 3^2) = \frac{1}{8} (83 - 81) = \frac{2}{8} = 0.25 \]
\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0.25} = 0.5 \]
步骤 3：求 $\mu$ 的置信区间
$\mu$ 的置信区间可以通过公式 $\left( \overline{x} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$ 来计算，其中 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的 $\alpha/2$ 分位数。给定 $\alpha = 0.05$，我们有：
\[ t_{0.025}(8) \approx 2.306 \]
\[ \left( 3 - 2.306 \times \frac{0.5}{\sqrt{9}}, 3 + 2.306 \times \frac{0.5}{\sqrt{9}} \right) \approx (2.616, 3.384) \]
步骤 4：求 $\sigma^2$ 的置信区间
$\sigma^2$ 的置信区间可以通过公式 $\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right)$ 来计算，其中 $\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布的 $\alpha/2$ 和 $1-\alpha/2$ 分位数。给定 $\alpha = 0.05$，我们有：
\[ \chi^2_{0.025}(8) \approx 17.535 \]
\[ \chi^2_{0.975}(8) \approx 2.180 \]
\[ \left( \frac{8 \times 0.25}{17.535}, \frac{8 \times 0.25}{2.180} \right) \approx (0.114, 0.917) \]