题目
"跟踪训练1]求下列不等式的解集:-|||-(1) ^2-3x+1leqslant 0;
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解二次方程的根
首先，我们求解二次方程 ${x}^{2}-3x+1=0$ 的根。根据求根公式 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $a=1$，$b=-3$，$c=1$，代入公式得：
$$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times1\times1}}{2\times1}=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$$
因此，方程的两个根为 $x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ 和 $x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$。
步骤 2：确定不等式的解集
由于二次方程 ${x}^{2}-3x+1=0$ 的根为 $x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ 和 $x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$，且二次项系数 $a=1>0$，所以二次函数 ${x}^{2}-3x+1$ 的图像开口向上。因此，不等式 ${x}^{2}-3x+1\leqslant 0$ 的解集为两个根之间的区间，即：
$$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\leqslant x\leqslant \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$$
首先，我们求解二次方程 ${x}^{2}-3x+1=0$ 的根。根据求根公式 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $a=1$，$b=-3$，$c=1$，代入公式得：
$$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times1\times1}}{2\times1}=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$$
因此，方程的两个根为 $x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ 和 $x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$。
步骤 2：确定不等式的解集
由于二次方程 ${x}^{2}-3x+1=0$ 的根为 $x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ 和 $x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$，且二次项系数 $a=1>0$，所以二次函数 ${x}^{2}-3x+1$ 的图像开口向上。因此，不等式 ${x}^{2}-3x+1\leqslant 0$ 的解集为两个根之间的区间，即：
$$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\leqslant x\leqslant \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$$