题目
49.设f(x)在[a,b]上连续，x_(i)in[a,b]，t_(i)>0(i=1,2,...,n)，且sum_(i=1)^nt_(i)=1，试证至少存在一点xiin[a,b]使f(xi)=t_(1)f(x_(1))+t_(2)f(x_(2))+...+t_(n)f(x_(n)).
49.设f(x)在[a,b]上连续，$x_{i}\in[a,b]$，$t_{i}>0(i=1,2,\cdots,n)$，且$\sum_{i=1}^{n}t_{i}=1$，试证至少存在一点$\xi\in[a,b]$使$f(\xi)=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2})+\cdots+t_{n}f(x_{n})$.
题目解答
答案
由连续函数的性质，$ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上有最小值 $ m $ 和最大值 $ M $。给定 $ x_i \in [a, b] $ 和 $ t_i > 0 $（$ i = 1, 2, \cdots, n $），满足 $ \sum_{i=1}^n t_i = 1 $，则 \[ m \leq f(x_i) \leq M \implies m \leq \sum_{i=1}^n t_i f(x_i) \leq M. \] 令 $ A = \sum_{i=1}^n t_i f(x_i) $，则 $ A \in [m, M] $。 由介值定理，存在 $ \xi \in [a, b] $ 使得 $ f(\xi) = A $，即 \[ f(\xi) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2) + \cdots + t_n f(x_n). \] \[ \boxed{f(\xi) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2) + \cdots + t_n f(x_n)} \]
解析
本题考查连续函数的最值定理和介值定理的应用。解题的关键思路是先利用连续函数在闭区间上的性质确定函数值的取值范围，再通过已知条件得到一个特定值的范围，最后根据介值定理证明存在满足条件的点。
- 确定函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最值：
因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，根据连续函数在闭区间上的最值定理可知，$f(x)$在$[a,b]$上一定存在最小值$m$和最大值$M$，即对于任意的$x\in[a,b]$，都有$m\leq f(x)\leq M$。 - 分析$f(x_i)$的取值范围：
已知$x_{i}\in[a,b]$，$i = 1,2,\cdots,n$，那么对于每一个$f(x_i)$，都满足$m\leq f(x_i)\leq M$。 - 对$f(x_i)$的不等式两边同时乘以$t_i$并求和：
由于$t_{i}>0$，$i = 1,2,\cdots,n$，不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变。所以$t_im\leq t_if(x_i)\leq t_iM$。
对$i$从$1$到$n$进行求和，根据不等式的性质可得：
$\sum_{i = 1}^{n}t_im\leq\sum_{i = 1}^{n}t_if(x_i)\leq\sum_{i = 1}^{n}t_iM$。
又因为$\sum_{i = 1}^{n}t_i = 1$，所以$m\sum_{i = 1}^{n}t_i\leq\sum_{i = 1}^{n}t_if(x_i)\leq M\sum_{i = 1}^{n}t_i$，即$m\leq\sum_{i = 1}^{n}t_if(x_i)\leq M$。
令$A = \sum_{i = 1}^{n}t_if(x_i)=t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\cdots +t_nf(x_n)$，则$A\in[m,M]$。 - 应用介值定理：
根据连续函数的介值定理，对于在闭区间$[a,b]$上连续的函数$f(x)$，如果$A$是介于$f(x)$在$[a,b]$上的最小值$m$和最大值$M$之间的任意一个数，那么至少存在一点$\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=A$。
因为$A\in[m,M]$，所以存在$\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\cdots +t_nf(x_n)$。