题目
钋放射的一种 粒子的速度为1.597×107米/秒，正面垂直入射于厚度为10-7米、密度为1.932×104/公斤米3的金箔。试求所有散射在θ＞90°的α粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197。
钋放射的一种 粒子的速度为1.597×107米/秒，正面垂直入射于厚度为10-7米、密度为1.932×104/公斤米3的金箔。试求所有散射在θ＞90°的α粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197。
题目解答
答案
解析
本题考查卢瑟福散射公式的应用，解题的关键在于理解散射角与散射截面的关系，通过积分计算散射角大于$90^{\circ}$的粒子数占总粒子数的比例。
- 计算单位体积中的金原子数$N$：
- 已知金的密度为$\rho = 1.932\times10^{4}kg/m^{3}$，金的原子量为$A_{Au}=197g/mol = 0.197kg/mol$，阿伏伽德罗常数$N_{0}=6.022\times10^{23}mol^{-1}$。
- 根据公式$N=\frac{\rho N_{0}}{A_{Au}}$，可得$N=\frac{1.932\times10^{4}\times6.022\times10^{23}}{0.197}$ $= 5.90\times10^{28}m^{-3}$。
- 明确散射角在$\theta$到$\theta + d\theta$之间的$\alpha$粒子数与入射总粒子数的关系：
- 散射角在$\theta$到$\theta + d\theta$之间的$\alpha$粒子数$dn$与入射到箔上的总粒子数$n$的比是$\frac{dn}{n}=Ntd\sigma$，其中$t = 10^{-7}m$为金箔厚度，$d\sigma$为散射截面元。
- 卢瑟福散射截面公式为$d\sigma=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{2Ze^{2}}{Mv^{2}}\right)^{2}\frac{d\Omega}{\sin^{4}\frac{\theta}{2}}$，这里$Z = 79$（金的原子序数），$e = 1.6\times10^{-19}C$，$M = 6.64\times10^{-27}kg$（$\alpha$粒子质量），$v = 1.597\times10^{7}m/s$，$d\Omega = 2\pi\sin\theta d\theta$。
- 则$d\sigma=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{2Ze^{2}}{Mv^{2}}\right)^{2}\frac{2\pi\sin\theta d\theta}{\sin^{4}\frac{\theta}{2}}$，利用$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$化简可得$d\sigma=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{2Ze^{2}}{Mv^{2}}\right)^{2}\frac{4\pi\cos\frac{\theta}{2}d\theta}{\sin^{3}\frac{\theta}{2}}$。
- 计算散射角大于$90^{\circ}$的粒子数占总粒子数的比例$\frac{dn}{n}$：
- 散射角大于$90^{\circ}$的粒子数为$dn=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}Ntd\sigma$，所以$\frac{dn}{n}=Nt\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}d\sigma$。
- 将$d\sigma$代入可得$\frac{dn}{n}=Nt\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{2Ze^{2}}{Mv^{2}}\right)^{2}4\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin^{3}\frac{\theta}{2}}d\theta$。
- 令$u = \sin\frac{\theta}{2}$，则$du=\frac{1}{2}\cos\frac{\theta}{2}d\theta$，当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$u=\frac{1}{\sqrt{2}}$；当$\theta=\pi$时，$u = 1$。
- 积分$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin^{3}\frac{\theta}{2}}d\theta = 2\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\frac{du}{u^{3}} = 2\left[-\frac{1}{2u^{2}}\right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}$ $= 2\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{1}\right)= 1$。
- 所以$\frac{dn}{n}=Nt\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\right)^{2}\left(\frac{2Ze^{2}}{Mv^{2}}\right)^{2}4\pi$。
- 代入$N = 5.90\times10^{28}m^{-3}$，$t = 10^{-7}m$，$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = 9\times10^{9}N\cdot m^{2}/C^{2}$，$Z = 79$，$e = 1.6\times10^{-19}C$，$M = 6.64\times10^{-27}kg$，$v = 1.597\times10^{7}m/s$可得：
$\frac{dn}{n}=5.90\times10^{28}\times10^{-7}\times(9\times10^{9})^{2}\times\left(\frac{2\times79\times(1.6\times10^{-19})^{2}}{6.64\times10^{-27}\times(1.597\times10^{7})^{2}}\right)^{2}\times4\pi$ $\approx 8.5\times10^{-6}$。
- 将比例转化为百分比：
- 因为$8.5\times10^{-6}\times100\% = 8.5\times10^{-4}\%$。