题目
(本题12分)(3109)设入射波的表达式为_(1)=Acos 2pi (dfrac (x)(lambda )+dfrac (t)(T)),在x = 0处发生反射,反射点为一固定端.设反射时无能量损失,求(1) 反射波的表达式; (2) 合成的驻波的表达式;(3) 波腹和波节的位置.
(本题12分)(3109)
设入射波的表达式为
,在x = 0处发生反射,反射点为一固定端.设反射时无能量损失,求
(1) 反射波的表达式; (2) 合成的驻波的表达式;
(3) 波腹和波节的位置.
题目解答
答案
(本题12分)(3109)
解:(1) 反射点是固定端,所以反射有相位突变,且反射波振幅为A,因此反
射波的表达式为 
(2) 驻波的表达式是
(3) 波腹位置: 
,
, n = 1, 2, 3, 4,…
波节位置: 
, n = 1, 2, 3, 4,…
解析
步骤 1：确定反射波的表达式
由于反射点为固定端，反射波相对于入射波有相位突变$\pi$，且反射波振幅为A，因此反射波的表达式为
${y}_{2}=A\cos [ 2\pi (x/\lambda -t/T)+\pi ]$
步骤 2：合成驻波的表达式
驻波的表达式是入射波和反射波的叠加，即
$y={y}_{1}+{y}_{2}$
$=A\cos 2\pi (\dfrac {x}{\lambda }+\dfrac {t}{T})+A\cos [ 2\pi (x/\lambda -t/T)+\pi ]$
利用三角函数的和差化积公式，可以得到
$y=2A\cos (2\pi x/\lambda +\dfrac {1}{2}\pi )\cos (2\pi /|T-\dfrac {1}{2}\pi )$
步骤 3：确定波腹和波节的位置
波腹位置：$2\pi x/\lambda +\dfrac {1}{2}\pi =n\pi$，解得$x=\dfrac {1}{2}(n-\dfrac {1}{2})\lambda$，n = 1, 2, 3, 4,…
波节位置：$2\pi x/\lambda +\dfrac {1}{2}\pi =n\pi +\dfrac {1}{2}\pi$，解得$x=\dfrac {1}{2}n\lambda$，n = 1, 2, 3, 4,…
由于反射点为固定端，反射波相对于入射波有相位突变$\pi$，且反射波振幅为A，因此反射波的表达式为
${y}_{2}=A\cos [ 2\pi (x/\lambda -t/T)+\pi ]$
步骤 2：合成驻波的表达式
驻波的表达式是入射波和反射波的叠加，即
$y={y}_{1}+{y}_{2}$
$=A\cos 2\pi (\dfrac {x}{\lambda }+\dfrac {t}{T})+A\cos [ 2\pi (x/\lambda -t/T)+\pi ]$
利用三角函数的和差化积公式，可以得到
$y=2A\cos (2\pi x/\lambda +\dfrac {1}{2}\pi )\cos (2\pi /|T-\dfrac {1}{2}\pi )$
步骤 3：确定波腹和波节的位置
波腹位置：$2\pi x/\lambda +\dfrac {1}{2}\pi =n\pi$，解得$x=\dfrac {1}{2}(n-\dfrac {1}{2})\lambda$，n = 1, 2, 3, 4,…
波节位置：$2\pi x/\lambda +\dfrac {1}{2}\pi =n\pi +\dfrac {1}{2}\pi$，解得$x=\dfrac {1}{2}n\lambda$，n = 1, 2, 3, 4,…