题目
如图所示，A、B是两颗在同一平面内绕地球做同向圆周运动的卫星，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)。已知地球半径为R，B离地面高度为h=R，A卫星绕地球转动的角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，忽略A、B间的相互作用力。求：(1)卫星B的运行周期：(2)再一次相距最近所用的时间。
如图所示，A、B是两颗在同一平面内绕地球做同向圆周运动的卫星，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)。已知地球半径为R，B离地面高度为h=R，A卫星绕地球转动的角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，忽略A、B间的相互作用力。求：(1)卫星B的运行周期：
(2)再一次相距最近所用的时间。
题目解答
答案
解：(1)设地球质量为M，卫星质量为m，根据万有引力和牛顿运动定律有：$G\frac{mM}{(R+h)^{2}}=m(R+h)\frac{4{π}^{2}}{{T}_{B}^{2}}$
在地球表面有：G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg
联立得：TB=$2π\sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{g{R}^{2}}}$。
(2)它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有：
ωBt-ω0t=2π
其中ωB=$\frac{2π}{{T}_{B}}$得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{(R+h)^{3}}}-{ω}_{0}}$。
答：(1)卫星B的运行周期是$2π\sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{g{R}^{2}}}$；
(2)至少经$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{(R+h)^{3}}}-{ω}_{0}}$，它们再一次相距最近。
在地球表面有：G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg
联立得：TB=$2π\sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{g{R}^{2}}}$。
(2)它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有：
ωBt-ω0t=2π
其中ωB=$\frac{2π}{{T}_{B}}$得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{(R+h)^{3}}}-{ω}_{0}}$。
答：(1)卫星B的运行周期是$2π\sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{g{R}^{2}}}$；
(2)至少经$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{(R+h)^{3}}}-{ω}_{0}}$，它们再一次相距最近。
解析
考查要点：本题主要考查天体运动中的卫星运行规律，涉及万有引力定律、圆周运动公式及相对角速度的计算。
解题核心思路：
- 卫星运行周期：利用万有引力提供向心力，结合地球表面重力加速度表达式，联立求解卫星B的周期。
- 再次相距最近时间：抓住两卫星角度差为$2π$的条件，通过角速度差计算时间。
破题关键点：
- 联立消元：通过地球表面重力加速度表达式消去地球质量$M$，得到卫星周期与已知量的关系。
- 相对角速度：明确同向运动时，角度差为$2π$对应的时间关系。
第（1）题
万有引力提供向心力
卫星B的轨道半径为$R+h=2R$，根据万有引力定律和向心力公式：
$G\frac{Mm}{(2R)^2} = m(2R)\frac{4\pi^2}{T_B^2}$
地球表面重力加速度
在地球表面，有：
$G\frac{Mm}{R^2} = mg \quad \Rightarrow \quad M = \frac{gR^2}{G}$
联立求解周期
将$M$代入卫星B的方程，消去$G$和$M$：
$\frac{gR^2}{(2R)^2} = \frac{4\pi^2}{T_B^2} \cdot 2R \quad \Rightarrow \quad T_B = 2\pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{gR^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$
第（2）题
角度差条件
两卫星再次相距最近时，B比A多转一圈：
$\omega_B t - \omega_0 t = 2\pi$
角速度表达式
由卫星B的周期得：
$\omega_B = \frac{2\pi}{T_B} = \sqrt{\frac{gR^2}{(R+h)^3}}$
求解时间
代入角度差方程：
$t = \frac{2\pi}{\omega_B - \omega_0} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{gR^2}{(R+h)^3}} - \omega_0}$