题目
18 [单选题] 设a为非零常数，则当( )时，级数sum_(n=1)^infty(a)/(r^n)收敛. A. |r|> |a| B. |r|> |a| C. |r|≤1 D. |r|>1
18 [单选题] 设a为非零常数，则当( )时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{r^{n}}$收敛.
A. |r|> |a|
B. |r|> |a|
C. |r|≤1
D. |r|>1
A. |r|> |a|
B. |r|> |a|
C. |r|≤1
D. |r|>1
题目解答
答案
为了确定级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{r^n}$在什么条件下收敛，我们需要分析这是一个几何级数。几何级数的一般形式是$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$，其中$a$是首项，$r$是公比。级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{r^n}$可以重写为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{r^n} = a \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{r}\right)^n
\]
这是一个几何级数，首项为$a \cdot \frac{1}{r}$和公比为$\frac{1}{r}$。几何级数$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$在$|r| < 1$时收敛。对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{r}\right)^n$，它在$\left|\frac{1}{r}\right| < 1$时收敛，这简化为$|r| > 1$。
因此，级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{r^n}$在$|r| > 1$时收敛。
正确答案是$\boxed{D}$。
解析
考查要点：本题主要考查几何级数的收敛条件，需要学生掌握几何级数的形式及其收敛性判断方法。
解题核心思路：将题目中的级数转化为标准几何级数的形式，利用几何级数的收敛条件（公比绝对值小于1）进行判断。
破题关键点：
- 识别几何级数结构：将$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{r^{n}}$改写为$a \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{r}\right)^{n}$，明确公比为$\frac{1}{r}$。
- 应用收敛条件：几何级数收敛的充要条件是公比绝对值小于1，即$\left|\frac{1}{r}\right| < 1$，转化为$|r| > 1$。
将级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{r^{n}}$变形为：
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{r^{n}} = a \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{r}\right)^{n}.$
这是一个以$\frac{1}{r}$为公比的几何级数。根据几何级数的收敛条件：
- 当公比绝对值小于1时，即$\left|\frac{1}{r}\right| < 1$，级数收敛；
- 当公比绝对值大于或等于1时，级数发散。
解不等式$\left|\frac{1}{r}\right| < 1$：
$\left|\frac{1}{r}\right| < 1 \quad \Rightarrow \quad |r| > 1.$
因此，当$|r| > 1$时，原级数收敛。