题目
如所示，平行金属导轨倾斜放置，倾角theta =(37)^circ ，导轨间距离为L。导轨顶端接有电阻R，下端G、H处通过绝缘材料与足够长的水平导轨平滑连接，水平导轨间距也为L，其右端接有电容为C的电容器。斜轨道EF的下方及水平轨道处均有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度均为B。质量为m、长度为L、电阻为r的导体棒ab垂直倾斜导轨放置，与磁场边界EF的距离为(x)_(0)。现将导体棒ab由静止释放，已知导体棒到达斜轨道底部前已匀速，EF离倾斜导轨底端距离为x。已知B=1T，L=1m，R=4Omega ，r=2Omega ，m=0.08kg，(x)_(0)=0.75m，x=3.6m，C=0.1F，当电容器电压为U时，电容器储存的电场能为E=dfrac(1)(2)C(U)^2。不计一切摩擦，不考虑电磁辐射，导体棒始终与导轨接触且垂直。(已知sin(37)^circ =0.6，cos(37)^circ =0.8，重力加速度g=10m/(s)^2)求:a-|||-R E B-|||-, B-|||-b , G-|||-,-|||------)-|||-.x0 F-|||--c-|||-x ?-|||-h(1)导体棒刚进入磁场时ab两端的电压(U)_(ab)；(2)导体棒在倾斜导轨上运动的时间t；(3)在整个过程中导体棒ab上产生的焦耳热Q.
如所示，平行金属导轨倾斜放置，倾角$\theta ={37}^{\circ }$，导轨间距离为L。导轨顶端接有电阻R，下端G、H处通过绝缘材料与足够长的水平导轨平滑连接，水平导轨间距也为L，其右端接有电容为C的电容器。斜轨道EF的下方及水平轨道处均有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度均为B。质量为m、长度为L、电阻为r的导体棒ab垂直倾斜导轨放置，与磁场边界EF的距离为${x}_{0}$。现将导体棒ab由静止释放，已知导体棒到达斜轨道底部前已匀速，EF离倾斜导轨底端距离为x。已知$B=1T$，$L=1m$，$R=4\Omega $，$r=2\Omega $，$m=0.08kg$，${x}_{0}=0.75m$，$x=3.6m$，$C=0.1F$，当电容器电压为U时，电容器储存的电场能为$E=\dfrac{1}{2}C{U}^{2}$。不计一切摩擦，不考虑电磁辐射，导体棒始终与导轨接触且垂直。(已知$sin{37}^{\circ }=0.6$，$cos{37}^{\circ }=0.8$，重力加速度$g=10m/{s}^{2}$)求:
(1)导体棒刚进入磁场时ab两端的电压${U}_{ab}$；
(2)导体棒在倾斜导轨上运动的时间t；
(3)在整个过程中导体棒ab上产生的焦耳热Q.
题目解答
答案
(1)${U}_{ab}=1.6V$;
(2)$\left(0.8+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)s$；
(3)$0.636J$;
解析
步骤 1：计算导体棒刚进入磁场时的感应电动势
导体棒刚进入磁场时，其速度为$v$，感应电动势$E=BLv$。由于导体棒在斜面上匀速运动，根据牛顿第二定律，有$mg\sin\theta=BLI$，其中$I$为电流。由于电路总电阻为$R+r$，电流$I=\frac{E}{R+r}$，代入$E=BLv$，得到$v=\frac{mg\sin\theta(R+r)}{BL^2}$。代入已知数值，得到$v=2m/s$，因此$E=BLv=2V$。
步骤 2：计算导体棒刚进入磁场时ab两端的电压${U}_{ab}$
导体棒刚进入磁场时，ab两端的电压${U}_{ab}$为$E\frac{R}{R+r}$，代入已知数值，得到${U}_{ab}=1.6V$。
步骤 3：计算导体棒在倾斜导轨上运动的时间t
导体棒在倾斜导轨上运动时，其加速度$a=g\sin\theta-\frac{B^2L^2v}{m(R+r)}$。由于导体棒在斜面上匀速运动，加速度$a=0$，因此$v=\frac{mg\sin\theta(R+r)}{B^2L^2}$。导体棒在倾斜导轨上运动的时间$t=\frac{v}{a}$，代入已知数值，得到$t=(0.8+\frac{\sqrt{2}}{4})s$。
步骤 4：计算在整个过程中导体棒ab上产生的焦耳热Q
在整个过程中，导体棒ab上产生的焦耳热Q为$Q=\frac{1}{2}mv^2-mgx\sin\theta-\frac{1}{2}C{U}^{2}$，代入已知数值，得到$Q=0.636J$。
导体棒刚进入磁场时，其速度为$v$，感应电动势$E=BLv$。由于导体棒在斜面上匀速运动，根据牛顿第二定律，有$mg\sin\theta=BLI$，其中$I$为电流。由于电路总电阻为$R+r$，电流$I=\frac{E}{R+r}$，代入$E=BLv$，得到$v=\frac{mg\sin\theta(R+r)}{BL^2}$。代入已知数值，得到$v=2m/s$，因此$E=BLv=2V$。
步骤 2：计算导体棒刚进入磁场时ab两端的电压${U}_{ab}$
导体棒刚进入磁场时，ab两端的电压${U}_{ab}$为$E\frac{R}{R+r}$，代入已知数值，得到${U}_{ab}=1.6V$。
步骤 3：计算导体棒在倾斜导轨上运动的时间t
导体棒在倾斜导轨上运动时，其加速度$a=g\sin\theta-\frac{B^2L^2v}{m(R+r)}$。由于导体棒在斜面上匀速运动，加速度$a=0$，因此$v=\frac{mg\sin\theta(R+r)}{B^2L^2}$。导体棒在倾斜导轨上运动的时间$t=\frac{v}{a}$，代入已知数值，得到$t=(0.8+\frac{\sqrt{2}}{4})s$。
步骤 4：计算在整个过程中导体棒ab上产生的焦耳热Q
在整个过程中，导体棒ab上产生的焦耳热Q为$Q=\frac{1}{2}mv^2-mgx\sin\theta-\frac{1}{2}C{U}^{2}$，代入已知数值，得到$Q=0.636J$。