题目
设有界曲面 S: z = x + 2y 在 xOy, yOz, zOx 坐标面上的投影分别为 D_(xy), D_(yz), D_(zx) 则下列曲面积分转化为重积分公式错误的是()。 A. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{zx)} f(x, (z-x)/(2), z)sqrt(6) , dz , dxB. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{xy)} f(x, y, x+2y)sqrt(6) , dx , dyC. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{yz)} f(z-2y, y, z)sqrt(6) , dy , dzD. iint_(S) f(x, y, z), dS = iint_(D_{zx)} f(x, (z-x)/(2), z)sqrt((3)/(2)) , dz , dx
设有界曲面 $S: z = x + 2y$ 在 $xOy$, $yOz$, $zOx$ 坐标面上的投影分别为 $D_{xy}$, $D_{yz}$, $D_{zx}$ 则下列曲面积分转化为重积分公式错误的是()。
- A. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{zx}} f\left(x, \frac{z-x}{2}, z\right)\sqrt{6} \, dz \, dx$
- B. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{xy}} f\left(x, y, x+2y\right)\sqrt{6} \, dx \, dy$
- C. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{yz}} f\left(z-2y, y, z\right)\sqrt{6} \, dy \, dz$
- D. $\iint_{S} f(x, y, z)\, dS = \iint_{D_{zx}} f\left(x, \frac{z-x}{2}, z\right)\sqrt{\frac{3}{2}} \, dz \, dx$
题目解答
答案
为了确定哪个曲面积分转化为重积分的公式是错误的，我们需要分析曲面 $ S: z = x + 2y $ 在不同坐标面上的投影以及相应的曲面积分公式。
曲面 $ S $ 的曲面元素 $ ds $ 可以用 $ x $ 和 $ y $ 的函数表示如下：
\[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dxdy. \]
由于 $ z = x + 2y $，我们有 $ \frac{\partial z}{\partial x} = 1 $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} = 2 $。因此，
\[ ds = \sqrt{1 + 1^2 + 2^2} \, dxdy = \sqrt{6} \, dxdy. \]
这给出了曲面积分在 $ D_{xy} $ 上的公式：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, ds = \iint_{D_{xy}} f(x, y, x + 2y) \sqrt{6} \, dxdy. \]
这是选项 B。
接下来，我们考虑在 $ D_{yz} $ 上的投影。我们可以将 $ x $ 表示为 $ y $ 和 $ z $ 的函数：
\[ x = z - 2y. \]
曲面元素 $ ds $ 可以用 $ y $ 和 $ z $ 的函数表示如下：
\[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)^2} \, dydz. \]
由于 $ x = z - 2y $，我们有 $ \frac{\partial x}{\partial y} = -2 $ 和 $ \frac{\partial x}{\partial z} = 1 $。因此，
\[ ds = \sqrt{1 + (-2)^2 + 1^2} \, dydz = \sqrt{6} \, dydz. \]
这给出了曲面积分在 $ D_{yz} $ 上的公式：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, ds = \iint_{D_{yz}} f(z - 2y, y, z) \sqrt{6} \, dydz. \]
这是选项 C。
最后，我们考虑在 $ D_{zx} $ 上的投影。我们可以将 $ y $ 表示为 $ x $ 和 $ z $ 的函数：
\[ y = \frac{z - x}{2}. \]
曲面元素 $ ds $ 可以用 $ x $ 和 $ z $ 的函数表示如下：
\[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2} \, dzdx. \]
由于 $ y = \frac{z - x}{2} $，我们有 $ \frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{1}{2} $ 和 $ \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{1}{2} $。因此，
\[ ds = \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, dzdx = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \, dzdx = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dzdx = \frac{\sqrt{6}}{2} \, dzdx. \]
这给出了曲面积分在 $ D_{zx} $ 上的公式：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, ds = \iint_{D_{zx}} f\left(x, \frac{z - x}{2}, z\right) \frac{\sqrt{6}}{2} \, dzdx. \]
这是选项 A，但选项 A 中的公式是错误的，因为 $ \sqrt{6} $ 应该是 $ \frac{\sqrt{6}}{2} $。
因此，曲面积分转化为重积分的错误公式是：
\[ \boxed{D} \]