题目
4-14 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端.设两轮的半-|||-径分别为R和r,两轮的转动惯量分别为J1和J2,轮与轴承间的摩擦力略去不计,绳的质量也-|||-略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力.-|||-r-|||-R-|||-B-|||-A-|||-习题4-14图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定受力分析
物体A和B分别受到重力和绳子的张力作用。物体A的重力为$m_1g$，物体B的重力为$m_2g$。绳子的张力分别记为$F_{T1}$和$F_{T2}$，其中$F_{T1}$作用于物体A，$F_{T2}$作用于物体B。
步骤 2：应用牛顿第二定律
对于物体A，根据牛顿第二定律，有：
$$m_1g - F_{T1} = m_1a_1$$
对于物体B，根据牛顿第二定律，有：
$$F_{T2} - m_2g = m_2a_2$$
其中$a_1$和$a_2$分别是物体A和B的加速度。
步骤 3：应用转动定律
对于组合轮，根据转动定律，有：
$$F_{T1}R - F_{T2}r = J_1\alpha_1 + J_2\alpha_2$$
其中$\alpha_1$和$\alpha_2$分别是两轮的角加速度。由于绳子不打滑，有$a_1 = R\alpha_1$和$a_2 = r\alpha_2$，因此可以将角加速度用线加速度表示。
步骤 4：联立方程求解
联立以上方程，可以求解出$a_1$、$a_2$、$F_{T1}$和$F_{T2}$。具体计算如下：
$$m_1g - F_{T1} = m_1a_1$$
$$F_{T2} - m_2g = m_2a_2$$
$$F_{T1}R - F_{T2}r = J_1\frac{a_1}{R} + J_2\frac{a_2}{r}$$
将$a_1$和$a_2$表示为$F_{T1}$和$F_{T2}$的函数，然后代入第三个方程，解得：
$$a_1 = \frac{m_1R - m_2r}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}gR$$
$$a_2 = \frac{m_1R - m_2r}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}gr$$
$$F_{T1} = \frac{J_1 + J_2 + m_2r^2 + m_2Rr}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}m_1g$$
$$F_{T2} = \frac{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_1Rr}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}m_2g$$
物体A和B分别受到重力和绳子的张力作用。物体A的重力为$m_1g$，物体B的重力为$m_2g$。绳子的张力分别记为$F_{T1}$和$F_{T2}$，其中$F_{T1}$作用于物体A，$F_{T2}$作用于物体B。
步骤 2：应用牛顿第二定律
对于物体A，根据牛顿第二定律，有：
$$m_1g - F_{T1} = m_1a_1$$
对于物体B，根据牛顿第二定律，有：
$$F_{T2} - m_2g = m_2a_2$$
其中$a_1$和$a_2$分别是物体A和B的加速度。
步骤 3：应用转动定律
对于组合轮，根据转动定律，有：
$$F_{T1}R - F_{T2}r = J_1\alpha_1 + J_2\alpha_2$$
其中$\alpha_1$和$\alpha_2$分别是两轮的角加速度。由于绳子不打滑，有$a_1 = R\alpha_1$和$a_2 = r\alpha_2$，因此可以将角加速度用线加速度表示。
步骤 4：联立方程求解
联立以上方程，可以求解出$a_1$、$a_2$、$F_{T1}$和$F_{T2}$。具体计算如下：
$$m_1g - F_{T1} = m_1a_1$$
$$F_{T2} - m_2g = m_2a_2$$
$$F_{T1}R - F_{T2}r = J_1\frac{a_1}{R} + J_2\frac{a_2}{r}$$
将$a_1$和$a_2$表示为$F_{T1}$和$F_{T2}$的函数，然后代入第三个方程，解得：
$$a_1 = \frac{m_1R - m_2r}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}gR$$
$$a_2 = \frac{m_1R - m_2r}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}gr$$
$$F_{T1} = \frac{J_1 + J_2 + m_2r^2 + m_2Rr}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}m_1g$$
$$F_{T2} = \frac{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_1Rr}{J_1 + J_2 + m_1R^2 + m_2r^2}m_2g$$