题目
10-32 一个半径为R1的导体球位于导体球壳-|||-中心,球壳内半径为R2,外半径为R3,如果整个内球带-|||-有电荷 +0, 整个外球壳上带有电荷 -0, 求:-|||-(1)球壳内外表面各分布多少电荷?-|||-(2)电势的空间分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定球壳内外表面的电荷分布
由于导体球壳内部的电场为零，因此球壳内表面的电荷量必须与内球的电荷量相等但符号相反，以抵消内球的电场。因此，球壳内表面的电荷量为 $-Q$。球壳外表面的电荷量为 $-Q$ 减去内表面的电荷量 $-Q$，即 $-Q - (-Q) = 0$。因此，球壳外表面的电荷量为 $0$。
步骤 2：计算电势的空间分布
电势的计算需要考虑电荷分布和距离。电势的计算公式为 $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho}{r} dV$，其中 $\rho$ 是电荷密度，$r$ 是距离，$dV$ 是体积元。对于球对称的电荷分布，可以简化为 $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$，其中 $Q$ 是电荷量，$r$ 是距离。
步骤 3：分段计算电势
- 当 $r \leqslant R_1$ 时，电势由内球的电荷量 $+Q$ 和球壳内表面的电荷量 $-Q$ 共同决定。由于球壳内表面的电荷量 $-Q$ 与内球的电荷量 $+Q$ 相抵消，因此电势为 $U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$。
- 当 $R_1 < r \leqslant R_2$ 时，电势由内球的电荷量 $+Q$ 决定。因此电势为 $U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_2}\right)$。
- 当 $r > R_2$ 时，电势由内球的电荷量 $+Q$ 和球壳外表面的电荷量 $0$ 共同决定。由于球壳外表面的电荷量为 $0$，因此电势为 $U = 0$。
由于导体球壳内部的电场为零，因此球壳内表面的电荷量必须与内球的电荷量相等但符号相反，以抵消内球的电场。因此，球壳内表面的电荷量为 $-Q$。球壳外表面的电荷量为 $-Q$ 减去内表面的电荷量 $-Q$，即 $-Q - (-Q) = 0$。因此，球壳外表面的电荷量为 $0$。
步骤 2：计算电势的空间分布
电势的计算需要考虑电荷分布和距离。电势的计算公式为 $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho}{r} dV$，其中 $\rho$ 是电荷密度，$r$ 是距离，$dV$ 是体积元。对于球对称的电荷分布，可以简化为 $U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$，其中 $Q$ 是电荷量，$r$ 是距离。
步骤 3：分段计算电势
- 当 $r \leqslant R_1$ 时，电势由内球的电荷量 $+Q$ 和球壳内表面的电荷量 $-Q$ 共同决定。由于球壳内表面的电荷量 $-Q$ 与内球的电荷量 $+Q$ 相抵消，因此电势为 $U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$。
- 当 $R_1 < r \leqslant R_2$ 时，电势由内球的电荷量 $+Q$ 决定。因此电势为 $U = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R_2}\right)$。
- 当 $r > R_2$ 时，电势由内球的电荷量 $+Q$ 和球壳外表面的电荷量 $0$ 共同决定。由于球壳外表面的电荷量为 $0$，因此电势为 $U = 0$。