题目

设某个非齐次线性方程组的系数矩阵A为m×n矩阵,且R(A)=r.则()A.r=m时,该方程组有解B.r=n时,该方程组有唯一解C.m=n时,该方程组有唯一解D.r<n时,该方程组有无穷多解

设某个非齐次线性方程组的系数矩阵A为m×n矩阵

,且R(A)=r.则()

A.r=m时,该方程组有解

B.r=n时,该方程组有唯一解

C.m=n时,该方程组有唯一解

D.r<n时,该方程组有无穷多解

题目解答

答案

D

解析:

非齐次线性方程组的系数矩阵A为m×n矩阵,故未知数个数为n,当 r < n 时，意味着方程组中的未知数中至少有一个是自由的，且矩阵的秩小于未知数的个数。在这种情况下，方程组有无穷多解。

解析

步骤 1：理解非齐次线性方程组的解的条件
非齐次线性方程组的解的条件主要取决于系数矩阵的秩和未知数的个数。对于一个非齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，那么方程组有解。如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，那么方程组有唯一解。如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，那么方程组有无穷多解。

步骤 2：分析选项
A. r=m时,该方程组有解
- 这个选项不正确，因为方程组有解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而不是等于方程的个数m。

B. r=n时,该方程组有唯一解
- 这个选项不正确，因为方程组有唯一解的条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数n，而不是等于方程的个数m。

C. m=n时,该方程组有唯一解
- 这个选项不正确，因为方程组有唯一解的条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数n，而不是方程的个数m等于未知数的个数n。

D. r- 这个选项正确，因为当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。