设矩形D=[0,4]times[0,1]，则iint_(D)minx,ydx dy=(). A)(11)/(6). B)(2)/(3). C)(4)/(3). D)(11)/(3).

为了求解二重积分 $\iint\limits_{D} \min\{x, y\} \, dxdy$，其中 $D = [0, 4] \times [0, 1]$，我们需要将区域 $D$ 分成两个部分：一个部分是 $x \leq y$，另一个部分是 $x > y$。在 $x \leq y$ 的区域上，$\min\{x, y\} = x$；在 $x > y$ 的区域上，$\min\{x, y\} = y$。 首先，我们画出区域 $D$，它是一个长为4，宽为1的矩形，顶点为 $(0,0)$，$(4,0)$，$(4,1)$ 和 $(0,1)$。直线 $y = x$ 与矩形的上边 $y = 1$ 交于点 $(1,1)$。因此，区域 $D$ 可以分成两个部分：三角形区域 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq x$ 和矩形区域 $1 \leq x \leq 4$，$0 \leq y \leq 1$。 在三角形区域 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq x$ 上，$\min\{x, y\} = y$，所以积分是： \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y \, dy \, dx \] 在矩形区域 $1 \leq x \leq 4$，$0 \leq y \leq 1$ 上，$\min\{x, y\} = y$，所以积分是： \[ \int_{1}^{4} \int_{0}^{1} y \, dy \, dx \] 在矩形区域 $0 \leq x \leq 1$，$x \leq y \leq 1$ 上，$\min\{x, y\} = x$，所以积分是： \[ \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} x \, dy \, dx \] 现在，我们分别计算这三个积分。 1. 计算 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y \, dy \, dx$: \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y \, dy \, dx = \int_{0}^{1} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \, dx = \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} \] 2. 计算 $\int_{1}^{4} \int_{0}^{1} y \, dy \, dx$: \[ \int_{1}^{4} \int_{0}^{1} y \, dy \, dx = \int_{1}^{4} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \, dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{2} \, dx = \left[ \frac{x}{2} \right]_{1}^{4} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] 3. 计算 $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} x \, dy \, dx$: \[ \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} x \, dy \, dx = \int_{0}^{1} x \left[ y \right]_{x}^{1} \, dx = \int_{0}^{1} x (1 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] 将这三个积分的结果相加，得到： \[ \frac{1}{6} + \frac{3}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} + \frac{9}{6} + \frac{1}{6} = \frac{11}{6} \] 因此，二重积分 $\iint\limits_{D} \min\{x, y\} \, dxdy$ 的值是 $\frac{11}{6}$。 答案是 $\boxed{A}$。