题目
(4). iint (x^2+y^2-x)dsigma，其中D是由直线y=2，y=x及y=2x所围成的闭区域.
(4). $\iint (x^{2}+y^{2}-x)d\sigma$，其中D是由直线y=2，y=x及y=2x所围成的闭区域.
题目解答
答案
1. **确定积分区域**：
区域 $D$ 由直线 $y=2$，$y=x$，$y=2x$ 围成，交点为 $(0,0)$，$(2,2)$，$(1,2)$。
对于固定 $y$（$0 \leq y \leq 2$），$x$ 的范围为 $\frac{y}{2}$ 到 $y$。
2. **设置二重积分**：
\[
\iint\limits_{D} (x^2 + y^2 - x) \, d\sigma = \int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx \, dy
\]
3. **计算内积分**：
\[
\int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx = \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8}
\]
4. **计算外积分**：
\[
\int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6}
\]
**答案**：
\[
\boxed{\frac{13}{6}}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由直线 $y=2$，$y=x$，$y=2x$ 围成，交点为 $(0,0)$，$(2,2)$，$(1,2)$。 对于固定 $y$（$0 \leq y \leq 2$），$x$ 的范围为 $\frac{y}{2}$ 到 $y$。
步骤 2：设置二重积分
\[ \iint\limits_{D} (x^2 + y^2 - x) \, d\sigma = \int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx \, dy \]
步骤 3：计算内积分
\[ \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + y^2x - \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{y}{2}}^{y} = \frac{y^3}{3} + y^3 - \frac{y^2}{2} - \left( \frac{y^3}{24} + \frac{y^3}{2} - \frac{y^2}{8} \right) = \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \]
步骤 4：计算外积分
\[ \int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy = \left[ \frac{19y^4}{96} - \frac{y^3}{8} \right]_{0}^{2} = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6} \]
区域 $D$ 由直线 $y=2$，$y=x$，$y=2x$ 围成，交点为 $(0,0)$，$(2,2)$，$(1,2)$。 对于固定 $y$（$0 \leq y \leq 2$），$x$ 的范围为 $\frac{y}{2}$ 到 $y$。
步骤 2：设置二重积分
\[ \iint\limits_{D} (x^2 + y^2 - x) \, d\sigma = \int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx \, dy \]
步骤 3：计算内积分
\[ \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + y^2x - \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{y}{2}}^{y} = \frac{y^3}{3} + y^3 - \frac{y^2}{2} - \left( \frac{y^3}{24} + \frac{y^3}{2} - \frac{y^2}{8} \right) = \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \]
步骤 4：计算外积分
\[ \int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy = \left[ \frac{19y^4}{96} - \frac{y^3}{8} \right]_{0}^{2} = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6} \]