题目
如图所示，MN和PH为一磁感应强度为B、水平宽度为L的有界匀强磁场的边界，磁场的上下边是无界的，磁场方向垂直纸面向外，磁场两边都存在一个电场强度为E的匀强电场，但磁场左边的电场方向竖直向上，右边的电场方向水平向右且往右边方向无界。一带电荷量为-q、质量为m、重力不计的粒子从电场中的Q点以v0的初速度水平进入电场。当粒子进入磁场时其速度与MN边界成45°夹角，最后粒子垂直边界PH离开磁场。试求：（1）粒子进入匀强磁场时速度v的大小以及匀强磁场磁感应强度B的大小；（2）粒子在右边电场中运动的时间；（3）若当粒子从右边电场出来后再次进入磁场时，立即改变匀强磁场的磁感应强度大小，要粒子在以后的运动中不能进入磁场左边的电场，试求匀强磁场磁感应强度变化后应满足的条件。
如图所示，MN和PH为一磁感应强度为B、水平宽度为L的有界匀强磁场的边界，磁场的上下边是无界的，磁场方向垂直纸面向外，磁场两边都存在一个电场强度为E的匀强电场，但磁场左边的电场方向竖直向上，右边的电场方向水平向右且往右边方向无界。一带电荷量为-q、质量为m、重力不计的粒子从电场中的Q点以v0的初速度水平进入电场。当粒子进入磁场时其速度与MN边界成45°夹角，最后粒子垂直边界PH离开磁场。试求：（1）粒子进入匀强磁场时速度v的大小以及匀强磁场磁感应强度B的大小；
（2）粒子在右边电场中运动的时间；
（3）若当粒子从右边电场出来后再次进入磁场时，立即改变匀强磁场的磁感应强度大小，要粒子在以后的运动中不能进入磁场左边的电场，试求匀强磁场磁感应强度变化后应满足的条件。
题目解答
答案
解：（1）粒子轨迹如图所示，粒子进入磁场时的速度：
v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v0，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得：r=$\frac{L}{sin45°}$=$\sqrt{2}$L，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）粒子在右侧电场做类竖直上抛运动，
粒子在右侧电场的运动时间：t=$\frac{2v}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qE}$；
（3）粒子运动轨迹与磁场左边界相切时粒子恰好不能进入左侧电场，此时粒子轨道半径：R=L，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B′=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$，
磁感应强度需要满足的条件是：B≥$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$；
答：（1）粒子进入匀强磁场时速度v的大小为$\sqrt{2}$v0，匀强磁场磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）粒子在右边电场中运动的时间为$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qE}$；
（3）匀强磁场磁感应强度变化后应满足的条件是：B≥$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$。
v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v0，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得：r=$\frac{L}{sin45°}$=$\sqrt{2}$L，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）粒子在右侧电场做类竖直上抛运动，
粒子在右侧电场的运动时间：t=$\frac{2v}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qE}$；
（3）粒子运动轨迹与磁场左边界相切时粒子恰好不能进入左侧电场，此时粒子轨道半径：R=L，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B′=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$，
磁感应强度需要满足的条件是：B≥$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$；
答：（1）粒子进入匀强磁场时速度v的大小为$\sqrt{2}$v0，匀强磁场磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
（2）粒子在右边电场中运动的时间为$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qE}$；
（3）匀强磁场磁感应强度变化后应满足的条件是：B≥$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$。
解析
步骤 1：计算粒子进入磁场时的速度
粒子在电场中加速，进入磁场时速度与MN边界成45°夹角，因此，粒子进入磁场时的速度为v=$\sqrt{2}$v_0。
步骤 2：计算匀强磁场磁感应强度B的大小
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得：r=$\sqrt{2}$L，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$。
步骤 3：计算粒子在右边电场中运动的时间
粒子在右侧电场做类竖直上抛运动，粒子在右侧电场的运动时间：t=$\frac{2v}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qE}$。
步骤 4：计算匀强磁场磁感应强度变化后应满足的条件
粒子运动轨迹与磁场左边界相切时粒子恰好不能进入左侧电场，此时粒子轨道半径：R=L，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：B′=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$，磁感应强度需要满足的条件是：B≥$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$。
粒子在电场中加速，进入磁场时速度与MN边界成45°夹角，因此，粒子进入磁场时的速度为v=$\sqrt{2}$v_0。
步骤 2：计算匀强磁场磁感应强度B的大小
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得：r=$\sqrt{2}$L，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$。
步骤 3：计算粒子在右边电场中运动的时间
粒子在右侧电场做类竖直上抛运动，粒子在右侧电场的运动时间：t=$\frac{2v}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qE}$。
步骤 4：计算匀强磁场磁感应强度变化后应满足的条件
粒子运动轨迹与磁场左边界相切时粒子恰好不能进入左侧电场，此时粒子轨道半径：R=L，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：B′=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$，磁感应强度需要满足的条件是：B≥$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$。