将一质量为m的物体A，放在一个绕竖直轴以每秒n转的匀速率转动的漏斗中，漏斗的壁与水平面成theta;角，设物体A与漏斗壁间的静摩擦系数为mu;0，物体A与转轴的距离为r，试证明物体与漏斗保持相对静止时，转速n的范围为： 1/2π(|x|a|)/(|a|m|x|a|-b|n>1/2π√(gisnθ)/(vcos (e^-40cos0)/(b+sin0) 1/2π(|x|a|)/(|a|m|x|a|-b|n>1/2π√(gisnθ)/(vcos (e^-40cos0)/(b+sin0)

本题考查圆周运动中的受力分析及静摩擦力的平衡条件。关键在于分析物体在漏斗壁上保持静止时的受力情况，分别考虑转速最小时物体有向下运动趋势和转速最大时物体有向上运动趋势两种临界状态。通过建立平衡方程，结合向心力公式，推导出转速范围。

核心思路：

1. 受力分解：将重力、支持力、静摩擦力分解到竖直方向和水平（径向）方向。
2. 临界条件：静摩擦力达到最大值时的两种临界状态（向下或向上运动趋势）。
3. 平衡方程：竖直方向平衡重力，水平方向提供向心力。

当 $n = n_{\text{min}}$ 时（物体有向下运动趋势）

受力分析

• 支持力 $N$ 垂直漏斗壁向外。
• 静摩擦力 $f = \mu_0 N$ 沿漏斗壁向上（与向下运动趋势相反）。
• 重力 $mg$ 竖直向下。

平衡方程

1. 竖直方向：
   $N \cos\theta + f \sin\theta = mg$
   代入 $f = \mu_0 N$：
   $N \cos\theta + \mu_0 N \sin\theta = mg \implies N = \frac{mg}{\cos\theta + \mu_0 \sin\theta}$

2. 水平方向（向心力）：
   $N \sin\theta - f \cos\theta = mr(2\pi n_{\text{min}})^2$
   代入 $f = \mu_0 N$：
   $N \sin\theta - \mu_0 N \cos\theta = mr(2\pi n_{\text{min}})^2$
   联立解得：
   $n_{\text{min}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g(\sin\theta - \mu_0 \cos\theta)}{r(\cos\theta + \mu_0 \sin\theta)}}$

当 $n = n_{\text{max}}$ 时（物体有向上运动趋势）

受力分析

• 静摩擦力 $f = \mu_0 N$ 沿漏斗壁向下（与向上运动趋势相反）。

平衡方程

1. 竖直方向：
   $N \cos\theta - f \sin\theta = mg$
   代入 $f = \mu_0 N$：
   $N \cos\theta - \mu_0 N \sin\theta = mg \implies N = \frac{mg}{\cos\theta - \mu_0 \sin\theta}$

2. 水平方向（向心力）：
   $N \sin\theta + f \cos\theta = mr(2\pi n_{\text{max}})^2$
   代入 $f = \mu_0 N$：
   $N \sin\theta + \mu_0 N \cos\theta = mr(2\pi n_{\text{max}})^2$
   联立解得：
   $n_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g(\sin\theta + \mu_0 \cos\theta)}{r(\cos\theta - \mu_0 \sin\theta)}}$