题目

设 4 维向量组 α1 =(1+a,1,1,1)T ， α2 =(2,2+a,2,2)T ， α3 =(3,3,3+a,3)T ， α4 =(4,4,4,4+a)T ，问 a 为何值时 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性相关 ? 当 α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

设 4 维向量组

α1
=(1+a,1,1,1)T ，
α2
=(2,2+a,2,2)T ，
α3
=(3,3,3+a,3)T ，
α4
=(4,4,4,4+a)T ，问 a 为何值时
α1
，
α2
，
α3
，
α4
线性相关 ? 当
α1
，
α2
，
α3
，
α4
线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

题目解答

答案

记以 α1 ， α2 ， α3 ， α4 为列向量的矩阵为 A ，

则：

。
A
。
=
。
1+a 2 3 4
1 2+a 3 4
1 2 3+a 4
1 2 3 4+a
。
=(10+a)a3 ，

于是，

当 |A|=0 ，即 a=0 或 a=−10 时， α1 ， α2 ， α3 ， α4 线性相关。

①当 a=0 时，显然 α1 是一个极大线性无关组，且 α2=2α1 ， α3=3α1 ， α4=4α1 ；

②当 a=−10 时，矩阵 A=

−9 2 3 4
1 −8 3 4
1 2 −7 4
1 2 3 −6
，

易知： A 有三阶非零行列式

。
−9 2 3
1 −8 3
1 2 −7
。
=−400≠0 ，

所以 α1 ， α2 ， α3 为极大线性无关组，且 α1+α2+α3+α4=0 ，

即： α4=−α1−α2−α3.

解析

步骤 1：构造矩阵 A
构造一个以向量 α1, α2, α3, α4 为列向量的矩阵 A，即：
A =
。
1+a
2
3
4
1
2+a
3
4
1
2
3+a
4
1
2
3
4+a
。
步骤 2：计算矩阵 A 的行列式
计算矩阵 A 的行列式 |A|，即：
|A| =
。
1+a
2
3
4
1
2+a
3
4
1
2
3+a
4
1
2
3
4+a
。
= (10+a)a^3
步骤 3：判断线性相关性
当 |A| = 0 时，即 (10+a)a^3 = 0，解得 a = 0 或 a = -10，此时向量组 α1, α2, α3, α4 线性相关。
步骤 4：求极大线性无关组
当 a = 0 时，显然 α1 是一个极大线性无关组，且 α2 = 2α1，α3 = 3α1，α4 = 4α1；
当 a = -10 时，矩阵 A =
−9
2
3
4
1
−8
3
4
1
2
−7
4
1
2
3
−6
，
易知： A 有三阶非零行列式
。
−9
2
3
1
−8
3
1
2
−7
。
=−400≠0 ，
所以 α1 ， α2 ， α3 为极大线性无关组，且 α1+α2+α3+α4=0 ，
即： α4=−α1−α2−α3.