题目

一平面单色光垂直照射在厚度均匀的-|||-薄油膜上.油膜覆盖在玻璃板上.所用-|||-单色光的波长可以连续变化,观察到50-|||-0nm与700 nm这两个波长的光在反射-|||-中消失.油的折射率为1.30,玻璃的折射-|||-率为1.50,试求油膜的最小厚度.

$\begin {aligned} &一平面单色光垂直照射在厚度均匀的\\&薄油膜上. 油膜覆盖在玻璃板上. 所用\\&单色光的波长可以连续变化, 观察到 50\\&0 nm 与 700 nm 这两个波长的光在反射\\&中消失. 油的折射率为 1.30 , 玻璃的折射\\&率为 1.50 , 试求油膜的最小厚度. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &在垂直照射的情况下，从油膜到玻璃\\&的反射为相反相位，所以要使得反射\\&光消失，两次反射之间的光程差要是\\&半个波长。 \\ &对于薄膜干涉，光程差由薄膜的厚度\\&和折射率决定。 \\ &考虑第一次消失的波长为 500 nm。这意\\&味着光在油膜中走过的距离是这个波\\&长的一半，但由于油的折射率为 1.30\\&，所以在油中的波长为： \end {aligned}$ $\begin {aligned} & \lambda_{油} = \frac{\lambda}{n_{油}} = \frac{500 nm}{1.30} \\ &为了使两次反射之间的光程差为半个\\&波长，光在油中走的距离需要是这个\\&新波长的一半： \\ & d = \frac{\lambda_{油}}{2} = \frac{\frac{500 nm}{1.30}}{2} \\ &考虑第二次消失的波长为 700 nm，重复\\&上面的步骤： \\ & \lambda_{油} = \frac{\lambda}{n_{油}} = \frac{700 nm}{1.30} \\ & d = \frac{\lambda_{油}}{2} = \frac{\frac{700 nm}{1.30}}{2} \\ &由于这两次得到的d都是允许的油膜厚\\&度，但为了找到最小的厚度，我们需\\&要找到它们的最小公倍数。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &如果将上述的公式合并，可以得到油\\&膜的厚度d与光的波长λ之间的关系： \\ & d = m \frac{\lambda}{2n_{油}} \\ &其中m是正整数。根据上述公式，我们\\&可以看到m = 1时，d的值对应于 500 nm\\& 和 700 nm 之间的波长。所以我们可以确\\&定m = 1。 \\ &使用波长 500 nm，我们可以得到： \\ & d_1 = 1 \times \frac{500 nm}{2 \times 1.30} \\ & d_1 \approx 192.3 nm \\ &使用波长 700 nm，我们可以得到： \end {aligned}$ $\begin {aligned} & d_2 = 1 \times \frac{700 nm}{2 \times 1.30} \\ & d_2 \approx 269.2 nm \\ &在这两个值中，最小的厚度是 d_1 \approx 192\\&.3 nm。 \\ &所以，油膜的最小厚度是 192.3 nm。 \end {aligned}$