题目
银河系中有一天体是均匀球体,其半径为R;绕其对称轴自转的周期为T;由于引力凝聚的作用;体积不断收缩;则一万年以后应有A. 自转周期变小;动能也变小B. 自转周期变大;动能减小C. 自转周期变大;动能增大D. 自转周期变小;动能增大
银河系中有一天体是均匀球体,其半径为R;绕其对称轴自转的周期为T;由于引力凝聚的作用;体积不断收缩;则一万年以后应有
A. 自转周期变小;动能也变小
B. 自转周期变大;动能减小
C. 自转周期变大;动能增大
D. 自转周期变小;动能增大
题目解答
答案
D. 自转周期变小;动能增大
解析
步骤 1： 角动量守恒
由于没有外力矩作用，天体的角动量守恒。角动量公式为 \(L = I\omega\)，其中 \(I\) 是转动惯量，\(\omega\) 是角速度。对于均匀球体，转动惯量 \(I = \frac{2}{5}MR^2\)，其中 \(M\) 是质量，\(R\) 是半径。角速度 \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)，其中 \(T\) 是周期。因此，角动量守恒可以表示为 \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)，即 \(\frac{2}{5}MR_1^2\frac{2\pi}{T_1} = \frac{2}{5}MR_2^2\frac{2\pi}{T_2}\)。由于质量 \(M\) 不变，可以简化为 \(R_1^2T_2 = R_2^2T_1\)。
步骤 2： 体积收缩
由于体积收缩，半径 \(R\) 减小，即 \(R_2 < R_1\)。根据角动量守恒公式，\(R_1^2T_2 = R_2^2T_1\)，可以得出 \(T_2 < T_1\)，即自转周期变小。
步骤 3： 动能变化
动能公式为 \(K = \frac{1}{2}I\omega^2\)。由于 \(I\) 减小，\(\omega\) 增大，动能 \(K\) 的变化取决于 \(I\) 和 \(\omega^2\) 的乘积。由于 \(I\) 减小的幅度小于 \(\omega^2\) 增大的幅度，因此动能 \(K\) 增大。
由于没有外力矩作用，天体的角动量守恒。角动量公式为 \(L = I\omega\)，其中 \(I\) 是转动惯量，\(\omega\) 是角速度。对于均匀球体，转动惯量 \(I = \frac{2}{5}MR^2\)，其中 \(M\) 是质量，\(R\) 是半径。角速度 \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)，其中 \(T\) 是周期。因此，角动量守恒可以表示为 \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)，即 \(\frac{2}{5}MR_1^2\frac{2\pi}{T_1} = \frac{2}{5}MR_2^2\frac{2\pi}{T_2}\)。由于质量 \(M\) 不变，可以简化为 \(R_1^2T_2 = R_2^2T_1\)。
步骤 2： 体积收缩
由于体积收缩，半径 \(R\) 减小，即 \(R_2 < R_1\)。根据角动量守恒公式，\(R_1^2T_2 = R_2^2T_1\)，可以得出 \(T_2 < T_1\)，即自转周期变小。
步骤 3： 动能变化
动能公式为 \(K = \frac{1}{2}I\omega^2\)。由于 \(I\) 减小，\(\omega\) 增大，动能 \(K\) 的变化取决于 \(I\) 和 \(\omega^2\) 的乘积。由于 \(I\) 减小的幅度小于 \(\omega^2\) 增大的幅度，因此动能 \(K\) 增大。