图示杆OA质量为m,长为l,可绕O轴自由转动;均质圆盘质量亦为m,半径R=l/2。初始系统静止于铅直位置,在微小扰动下无初速地绕O点向下摆动,设摩擦不计。试问当OA杆摆动到水平位置时,在图示两种情况,系统动能和动量的正确关系是 。A. T A =T B ,p A = p BB. T A =T B ,p A C. T A >T B ,p A = p B ;D. T A =T B ,p A > p B ।

本题考查刚体的动能、动量计算以及对不同运动运动情况的分析。解题思路是分别分析两种情况下系统的动能动能和动量，通过计算和和对比得出它们之间的关系。

1. 分析系统动能

系统的动能由杆 $OA$ 的动能 $T_{OA}$ 和圆盘的圆盘的动能 $T_{盘}$ 组成，即 $T = T_{OA}+T_{盘}$。

• **杆 \(OA的动能**： 杆 $OA$ 绕 $O$ 轴做定轴转动，其转动惯量 $J_{OA}=\frac{1}{3}ml^{2}$。根据定轴转动动能公式 $T=\frac{1}{2}J\omega^{2$，当杆 $OA$ 摆动到水平位置时，设杆的角速度为 $\omega$，则杆 $OA\(OA$ 的动能 $T_{OA}=\frac{1}{2}J_{OA}\omega^{2}=\frac{1}{2}\times}\frac{1}{3}ml^{2}\omega^{2}=\frac{1}{6}ml^{2}\omega^{2}$。
• 情况A（圆盘绕O轴转动）：
  圆盘绕 $O$ 轴做定轴转动，其转动惯量 $J_{A}=\frac{1}{2}mR^{2}+mR^{2}=\frac{3}{2}mR^{2}$。因为 $R = \frac{l}{2}$，所以 $J_{A}=\frac{3}{2}m(\frac{l}{2})^{2}=\frac{3}{8}ml^{2}$。圆盘与杆 $OA$ 角速度相同，所以圆盘的动能 $T_{盘A}=\frac{1}{2}J_{A}\omega^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{}{8}ml^{2}\omega^{2}=\frac{3}{16}ml^{2}\omega^{2}$。
  则情况A系统的系统动能 $T_{A}=T_{OA}+T_{盘A}=\frac{1}{6}ml^{2}\omega^{2}+\frac{3}{16}ml^{2}\omega^{2}=\frac{8 + 9}{48}ml^{2}\omega^{2}=\frac{17}{48}ml^{2}\omega^{2}$。
• 情况B（圆盘平动）：
  圆盘做平动，其动能 $T_{盘B}=\frac{1}{2}mv_{C}^{2}$，其中 $v_{C}=R\omega=\frac{l}{2}\omega$，所以 $T_{盘B}=\frac{1}{2}m(\frac{l}{2}\omega)^{2}=\frac{1}{8}ml^{2}\omega^{2}$。
  则情况B的系统动能 $T_{B}=T_{OA}+T_{盘B}=\frac{1}{6}ml^{2}\omega^{2}+\frac{1}{8}ml^{2}\omega^{2}=\frac{4 + 3}{24}ml^{2}\omega^{2}=\frac{7}{24}ml^{2}\omega^{2}$。
  由此可知 $T_{A}=T_{B}$。

2. 分析系统动量

系统的动量等于杆 $OA$ 的动量 $p_{OA}$ 和圆盘的动量 $p_{盘}$ 的矢量和，即 $p = p_{OA}+p_{盘}$。

• 杆OA的动量：
  杆 $OA$ 的质心的速度 $v_{C}=\frac{l}{2}\omega$，则杆 $OA$ 的动量 $p_{OA}=mv_{C}=\frac{1}{2}ml\omega$，方向水平向右。
• 情况A（圆盘绕O轴转动）：
  圆盘质心的速度 $v_{C}=\frac{l}{2}\omega$，则圆盘的动量 $p_{盘A}=mv_{C}=\frac{1}{2}ml\omega$，方向水平向右。
  所以情况A的系统动量 $p_{A}=p_{OA}+p_{盘}=\frac{1}{2}ml\omega+\frac{1}{2}ml\omega = ml\omega\omega$。
• 情况B（圆盘平动）：
  圆盘质心的速度 $v_{C}=\frac{l}{2}\omega$，则圆盘的动量 $p_{盘B}=mv_{C}=\frac{1}{2}ml\omega$，方向水平向右。
  所以情况B的系统动量 $p_{B}=p_{OA}+p_{盘B}=\frac{1}{2}ml\omega+\frac{1}{2}ml\omega = ml\omega$。
  由此可知 $p_{A}< p_{B}$。