已知氟核的质量约为质子质量的3倍，带正电荷，电荷量为一个元电荷；alpha 粒子即氨原子核，质量约为质子质量的4倍，带正电荷，电荷量为e的2倍。现在质子、氚核和alpha 粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。求下列情况中它们运动的半径之比：（1）它们的速度大小相等；（2）它们由静止经过相同的加速电场加速后进入磁场。
已知氟核的质量约为质子质量的3倍，带正电荷，电荷量为一个元电荷；$\alpha $粒子即氨原子核，质量约为质子质量的4倍，带正电荷，电荷量为e的2倍。现在质子、氚核和$\alpha $粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。求下列情况中它们运动的半径之比：
（1）它们的速度大小相等；
（2）它们由静止经过相同的加速电场加速后进入磁场。
题目解答
答案
【答案】
（1）$1:3:2$；（2）$1:\sqrt{3}:\sqrt{2}$
【】
（1）质量为${m}_{0}$、电荷量为q的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力得：$qvB={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{r}$，得其运动半径为：$r=\frac{{m}_{0}v}{qB}$。
设质子的质量为m，当质子、氚核和$\alpha $粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动时，设它们的运动半径分别为${r}_{1}$、${r}_{2}$、${r}_{3}$，由于它们的速度大小相等，则它们的运动半径之比为：${r}_{1}:{r}_{2}:{r}_{3}=\frac{m}{e}:\frac{3m}{e}:\frac{4m}{2e}=1:3:2$。
（2）质量为${m}_{0}$、电荷量为q的带电粒子由静止经过加速电压为U的加速电场加速后，设其速度大小为v，由动能定理得：$qU=\frac{1}{2}{m}_{0}{v}^{2}$，得：$v=\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{0}}}$；此后该粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径为：$r'=\frac{{m}_{0}v}{qB}=\frac{{m}_{0}}{qB}\cdot \sqrt{\frac{2qU}{{m}_{0}}}=\frac{\sqrt{2U}}{B}\cdot \sqrt{\frac{{m}_{0}}{q}}$。
则当质子、氚核和$\alpha $粒子由静止经过相同的加速电场加速后，在匀强磁场中做匀速圆周运动时，它们的运动半径之比为：${{r}_{1}{'}}:{{r}_{2}{'}}:{{r}_{3}{'}}=\sqrt{\frac{m}{e}}:\sqrt{\frac{3m}{e}}:\sqrt{\frac{4m}{2e}}=1:\sqrt{3}:\sqrt{2}$。
解析
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，即 $qvB = m\frac{v^2}{r}$，由此可得粒子运动半径的公式为 $r = \frac{mv}{qB}$，其中 $m$ 为粒子质量，$v$ 为粒子速度，$q$ 为粒子电荷量，$B$ 为磁场强度。
步骤 2：计算速度相等时的半径比
当质子、氚核和$\alpha$粒子的速度大小相等时，它们的运动半径之比为 $r_{质子} : r_{氚核} : r_{\alpha粒子} = \frac{m_{质子}v}{eB} : \frac{3m_{质子}v}{eB} : \frac{4m_{质子}v}{2eB} = 1 : 3 : 2$。
步骤 3：计算经过相同加速电场加速后的半径比
当质子、氚核和$\alpha$粒子由静止经过相同的加速电场加速后，设加速电压为$U$，则由动能定理得 $qU = \frac{1}{2}mv^2$，解得 $v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$。将此速度代入半径公式，得 $r = \frac{m}{qB} \cdot \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{\sqrt{2U}}{B} \cdot \sqrt{\frac{m}{q}}$。因此，它们的运动半径之比为 $r_{质子} : r_{氚核} : r_{\alpha粒子} = \sqrt{\frac{m_{质子}}{e}} : \sqrt{\frac{3m_{质子}}{e}} : \sqrt{\frac{4m_{质子}}{2e}} = 1 : \sqrt{3} : \sqrt{2}$。