设随机变量 X,Y 相互独立，且 X sim N(mu_1, sigma^2), Y sim N(mu_2, sigma^2), 则 X-Y 为( )A. N(mu_1+mu_2, sigma_1^2+sigma_2^2)B. N(mu_1-mu_2, sigma_1^2-sigma_2^2)C. N(mu_1+mu_2, sigma_1^2-sigma_2^2)D. N(mu_1-mu_2, sigma_1^2+sigma_2^2)

我们来一步一步地分析这个问题。

题目条件：

• 随机变量 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$
• 随机变量 $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$
• $X$ 与 $Y$ 相互独立

我们要求的是：
> 随机变量 $X - Y$ 的分布。

解题思路：

我们知道，如果两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的正态分布变量，那么它们的线性组合（如 $X - Y$）也服从正态分布。

更一般地，若：

• $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$
• $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$
• 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立

则：
$aX + bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$

应用到本题：

我们有：

• $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$
• $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$
• $X$ 与 $Y$ 相互独立

考虑 $X - Y$，即：
$X - Y = 1 \cdot X + (-1) \cdot Y$

根据正态分布的线性组合性质：

• 均值：$1 \cdot \mu_1 + (-1) \cdot \mu_2 = \mu_1 - \mu_2$
• 方差：$1^2 \cdot \sigma^2 + (-1)^2 \cdot \sigma^2 = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$

因此：
$X - Y \sim N(\mu_1 - \mu_2,\ 2\sigma^2)$

看选项：

A. $N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ → 错，均值符号不对
B. $N(\mu_1-\mu_2, \sigma_1^2-\sigma_2^2)$ → 错，方差应为相加，不是相减
C. $N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2-\sigma_2^2)$ → 错，均值和方差都不对
D. $N(\mu_1-\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ → 正确

答案：

$\boxed{D}$