如图，一长直导线中通有电流I，另有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB与导线共面，并以恒定的速度v沿竖直向上方向移动，则金属棒中感应电动势大小(varepsilon )_(1)=（ ）V。_(2) B-|||-aA.dfrac({mu )_(0)Iv}(2pi )ln ,(dfrac(a+l)(a))B.dfrac({mu )_(0)Iv}(2pi )ln ,(dfrac(a)(a+l))C.dfrac({mu )_(0)Iv}(2pi )ln ,(dfrac(a+l)(l))D.dfrac({mu )_(0)Iv}(2)ln ,(dfrac(a+l)(a))
如图，一长直导线中通有电流I，另有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB与导线共面，并以恒定的速度v沿竖直向上方向移动，则金属棒中感应电动势大小${\varepsilon }_{1}=$（ ）$V$。
A.$\dfrac{{\mu }_{0}Iv}{2\pi }\ln \,\left(\dfrac{a+l}{a}\right)$
B.$\dfrac{{\mu }_{0}Iv}{2\pi }\ln \,\left(\dfrac{a}{a+l}\right)$
C.$\dfrac{{\mu }_{0}Iv}{2\pi }\ln \,\left(\dfrac{a+l}{l}\right)$
D.$\dfrac{{\mu }_{0}Iv}{2}\ln \,\left(\dfrac{a+l}{a}\right)$
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查动生电动势的计算，涉及长直导线的磁场分布和导体棒在磁场中运动产生的感应电动势。
解题核心思路：
- 确定磁场分布：根据安培环路定理，长直导线产生的磁场为 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$，方向与电流方向成右手螺旋关系。
- 分析运动方向与磁场的相对关系：金属棒竖直向上运动时，其速度方向与磁场方向始终垂直，满足动生电动势的产生条件。
- 积分计算电动势：对棒上各点的电动势元 $d\varepsilon = vB \, dl$ 进行积分，积分区间为棒的长度范围。
破题关键点：
- 磁场随距离变化：棒上不同点距离导线的距离不同，磁场强度不同，需积分处理。
- 速度与磁场垂直：速度方向与磁场方向垂直时，电动势元简化为 $d\varepsilon = vB \, dl$。
磁场分析
长直导线中的电流 $I$ 产生的磁场满足安培环路定理：
$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I \implies B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r},$
其中 $r$ 为场点到导线的距离，磁场方向与电流方向成右手螺旋关系。
电动势计算
金属棒竖直向上运动时，棒上各点距离导线的距离为 $r = a + x$（$x$ 为棒的局部坐标，$0 \leq x \leq l$）。速度 $\mathbf{v}$ 与磁场 $\mathbf{B}$ 垂直，电动势元为：
$d\varepsilon = vB \, dl = v \cdot \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} \, dl.$
积分棒的全长：
$\varepsilon_1 = \int_{a}^{a+l} v \cdot \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} \, dr = \dfrac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln \left( \dfrac{a+l}{a} \right).$