由N个原子组成的一维单原子晶格，设原子质量为m，原子间距为a，恢复力系数为beta（只考虑近邻原子间的相互作用）。证明其色散关系为[omega=2sqrt((beta)/(m))|sin(aq)/(2)|]设N=5，求一维单原子晶格的振动频率。在简约布里渊区内画出5个原子组成的一维单原子晶格色散关系。

色散关系证明

色散关系为：
$\omega = 2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \left| \sin\left(\frac{qa}{2}\right) \right|$
证明过程如下：

1. 建立近邻原子间的运动方程。
2. 假设波解形式并代入方程，化简得到色散关系。

N=5时的振动频率

当N=5时，波矢$q$取值为：
$q = \frac{2\pi}{5a} n \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2)$
对应的振动频率为：
$\omega = 0, \quad 2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right), \quad 2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$

简约布里渊区内的色散关系图

在简约布里渊区$-\frac{\pi}{a} \leq q \leq \frac{\pi}{a}$内，色散关系为：
$\omega = 2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \left| \sin\left(\frac{qa}{2}\right) \right|$
曲线为对称的正弦函数，具体关键点为：

• $q=0$时，$\omega=0$。
• $q=\pm\frac{\pi}{a}$时，$\omega=2\sqrt{\frac{\beta}{m}}$。
• $q=\pm\frac{2\pi}{5a}$时，$\omega=2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$。
• $q=\pm\frac{4\pi}{5a}$时，$\omega=2\sqrt{\frac{\beta}{m}} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$。

色散关系曲线为一个对称的正弦函数曲线，峰值位于$q=\pm\frac{\pi}{a}$，最小值位于$q=0$。