一底面积为45x50cm2,高为1cm的木块,质量为5kg,沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动,木块运动速度u=1m/s ,油层厚度1cm ,斜坡22.62 (见图示),求油的粘度。

本题主要考察流体力学中牛顿内摩擦定律及物体受力平衡的综合应用，目的是求解润滑油的粘度。以下是详细解题思路：

1. 关键知识点回顾

• 牛顿内摩擦定律：流体层间的切应力$\tau$与速度梯度$\frac{du}{dy}$成正比，公式为$\tau = \mu \frac{du}{dy}$，其中$\mu$为为流体粘度，$\frac{du}{dy}$为速度梯度（本题中因木块匀速运动，油层速度从0线性变化到到木块速度$u$，速度梯度简化为$\frac{u}{\delta}$，$\delta$为油层厚度）。
• 受力平衡：木块匀速下滑时，重力沿斜面向下的分力等于油层对木块的粘性阻力，即$G\sin\theta = \tau A$（$G$为木块重力，$A$为木块底面积，$\theta$为斜坡倾角）。

2. 具体计算步骤

步骤1：确定已知量

• 木块质量$m=5\,\text{kg}$，则重力$G=mg=5\times9.8=49\,\text{N}$；
• 斜坡倾角$\theta=22.62^\circ$；
• 木块速度$u=1\,\text{m/s}$，油层厚度$\delta=1\,\text{cm}=0.01\,\text{m}$；
• 木块底面积$A=45\times50\,\text{cm}^2=0.45\times0.5\,\text{m}^2=0.225\,\text{m}^2$。

步骤2建立平衡方程

木块匀速运动，合力为0，重力沿斜面向下分力等于粘性阻力：
$G\sin\theta = \tau A \quad (1)$

步骤3牛顿内摩擦定律

油层切应力$\tau$：
因油层速度线性分布，速度梯度$\frac{du}{dy}=\frac{u}{\delta}$，代入牛顿内摩擦定律：
$\tau = \mu \frac{u}{\delta} \quad (2)$

步骤4联立方程求解$\mu$

将式(2)代入式(1)：
$G\sin\theta = \mu \frac{u}{\delta} A$
整理得：
$\mu = \frac{G\sin\theta \cdot \delta }{uA}$

步骤5代入数值计算

$\sin22.62^\circ\approx0.385 \quad (\text{近似值})$
$\mu = \frac{49\times0.385\times0.01}{1\times0.225} \approx 0.838\,\text{Pa·s}$