设有周边为任意形状的薄板,其表面自由并与oxy坐标面平行。若已知各点的位移分量为=-pdfrac (1-mu )(E)x =-pdfrac (1-mu )(E)y,则板内的应力分量为 。

本题考查平面问题中由位移求解应力分量的能力，核心思路是通过位移分量计算应变分量，再结合广义胡克定律求解应力。关键点在于：

1. 应变分量的计算：利用位移分量的偏导数求出线应变和剪应变；
2. 广义胡克定律的应用：将应变分量转换为应力分量，需注意平面问题的本构关系；
3. 简化计算：通过代数运算化简表达式，最终得到均匀分布的应力分量。

步骤1：计算应变分量

根据平面问题的应变公式：
$\begin{aligned}\epsilon_x &= \frac{\partial u}{\partial x} = -p \frac{1-\mu}{E}, \\\epsilon_y &= \frac{\partial v}{\partial y} = -p \frac{1-\mu}{E}, \\\gamma_{xy} &= \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0.\end{aligned}$

步骤2：应用广义胡克定律

在平面应力条件下，应力分量与应变分量的关系为：
$\begin{aligned}\sigma_x &= \frac{E}{1-\mu^2} \left( \epsilon_x + \mu \epsilon_y \right), \\\sigma_y &= \frac{E}{1-\mu^2} \left( \epsilon_y + \mu \epsilon_x \right), \\\tau_{xy} &= \frac{E}{1+\mu} \frac{\gamma_{xy}}{2}.\end{aligned}$

步骤3：代入应变分量

将$\epsilon_x = \epsilon_y = -p \frac{1-\mu}{E}$和$\gamma_{xy}=0$代入公式：
$\begin{aligned}\sigma_x &= \frac{E}{1-\mu^2} \left[ -p \frac{1-\mu}{E} + \mu \left( -p \frac{1-\mu}{E} \right) \right] = -p, \\\sigma_y &= \frac{E}{1-\mu^2} \left[ -p \frac{1-\mu}{E} + \mu \left( -p \frac{1-\mu}{E} \right) \right] = -p, \\\tau_{xy} &= \frac{E}{1+\mu} \cdot 0 = 0.\end{aligned}$