题目
26.[判断题]若A，B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵A 对B 错
26.[判断题]
若A，B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断两个 $ n $ 阶对称矩阵 $ A $ 和 $ B $ 的乘积 $ AB $ 是否也是对称矩阵，我们需要分析 $ AB $ 的转置。一个矩阵 $ M $ 是对称的，当且仅当 $ M^T = M $。
已知 $ A $ 和 $ B $ 是对称矩阵，我们有 $ A^T = A $ 和 $ B^T = B $。我们需要检查 $ (AB)^T = AB $ 是否成立。
两个矩阵乘积的转置等于它们的转置以相反的顺序相乘。因此，我们有：
\[
(AB)^T = B^T A^T
\]
由于 $ A $ 和 $ B $ 是对称的，我们可以用 $ A $ 替换 $ A^T $，用 $ B $ 替换 $ B^T $：
\[
(AB)^T = B A
\]
为了使 $ AB $ 对称，必须有 $ (AB)^T = AB $。因此，我们需要：
\[
BA = AB
\]
这意味着 $ A $ 和 $ B $ 必须可以交换。然而，两个矩阵可以交换并不是总是成立的。因此，$ AB $ 不一定是对称的。
为了说明，考虑以下两个对称矩阵：
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}
\]
我们计算 $ AB $：
\[
AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 10 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}
\]
在这个特定的情况下，$ AB $ 是对称的，因为 $ A $ 和 $ B $ 可以交换。但是，让我们考虑另一个例子：
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\]
我们计算 $ AB $：
\[
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
矩阵 $ AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ 不是对称的，因为它的转置是 $ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $，这与 $ AB $ 不同。
因此，两个 $ n $ 阶对称矩阵的乘积不一定是对称的。正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
步骤 1：定义对称矩阵
一个矩阵 $M$ 是对称的，当且仅当 $M^T = M$，其中 $M^T$ 表示矩阵 $M$ 的转置。
步骤 2：分析两个对称矩阵的乘积
已知 $A$ 和 $B$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$ 和 $B^T = B$。我们需要检查 $AB$ 的转置是否等于 $AB$，即 $(AB)^T = AB$。
步骤 3：计算乘积的转置
两个矩阵乘积的转置等于它们的转置以相反的顺序相乘，即 $(AB)^T = B^T A^T$。由于 $A$ 和 $B$ 是对称的，我们有 $(AB)^T = BA$。
步骤 4：判断乘积是否对称
为了使 $AB$ 对称，必须有 $(AB)^T = AB$，即 $BA = AB$。然而，两个矩阵可以交换并不是总是成立的。因此，$AB$ 不一定是对称的。
步骤 5：举例说明
考虑两个对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $AB$：\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵 $AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 不是对称的，因为它的转置是 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，这与 $AB$ 不同。
一个矩阵 $M$ 是对称的，当且仅当 $M^T = M$，其中 $M^T$ 表示矩阵 $M$ 的转置。
步骤 2：分析两个对称矩阵的乘积
已知 $A$ 和 $B$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$ 和 $B^T = B$。我们需要检查 $AB$ 的转置是否等于 $AB$，即 $(AB)^T = AB$。
步骤 3：计算乘积的转置
两个矩阵乘积的转置等于它们的转置以相反的顺序相乘，即 $(AB)^T = B^T A^T$。由于 $A$ 和 $B$ 是对称的，我们有 $(AB)^T = BA$。
步骤 4：判断乘积是否对称
为了使 $AB$ 对称，必须有 $(AB)^T = AB$，即 $BA = AB$。然而，两个矩阵可以交换并不是总是成立的。因此，$AB$ 不一定是对称的。
步骤 5：举例说明
考虑两个对称矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $AB$：\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵 $AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 不是对称的，因为它的转置是 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，这与 $AB$ 不同。