16-6 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体,半径为R,高为h,电阻率为ρ,如图-|||-16-44 所示。若匀强磁场以 dfrac (dB)(dt)=k(kgt 0,, k为恒量)的规律变化,求圆柱体内涡电流的热功率。-|||-B-|||-,-|||-R-|||-h-|||-图 16-44

本题考查涡电流热功率的计算，关键是通过法拉第电磁感应定律求感应电动势，再结合电阻公式和功率公式推导。

步骤1：确定感应电动势

圆柱形匀强磁场中，磁通量变化率$\frac{d\Phi}{dt}$产生感应电动势。对于半径$r$的同轴圆环（积分回路），磁通量$\Phi = B \cdot \pi r^2$，则：
$\varepsilon = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = \pi r^2 \left| \frac{dB}{dt} \right| = \pi k r^2 \quad (\text{因}\frac{dB}{dt}=k>0)$

步骤2：计算电阻

金属圆柱体电阻率为$\rho$，半径$R$，高$h$。厚度$dr$的圆柱薄壳电阻：
$dR = \rho \cdot \frac{dl}{S} = \rho \cdot \frac{2\pi r dr}{h} \quad (\text{长度}$dl=2\pi r dr$，横截面积$S=h dr$)$

步骤3：推导热功率

薄壳热功率$dP = \frac{(\varepsilon')^2}{dR}$，其中$\varepsilon'$为薄壳内的感应电动势$\varepsilon' = \pi k r^2$。代入$dR$：
$dP = \frac{(\pi k r^2)^2}{\rho \cdot \frac{2\pi r dr}{h}} = \frac{\pi k^2 h r^3 dr}{2\rho}$
积分得总功率：
$P = \int_0^R dP = \int_0^R \frac{\pi k^2 h r^3}{22\rho} dr = \frac{\pi k^2 h}{2\rho} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\frac{\pi k^2 h R^4}{8\rho}\}$