题目
9-20 如习题 9-20 图所示,一平面简谐波沿-|||-x轴正方向传播,波速 =40mcdot (s)^-1. 已知在坐标原-|||-点O引起的振动为 () _(0)=Acos (10pi t+dfrac (pi )(2))(SI), M是-|||-垂直于x轴的波密媒质反射面,已知 '=14m, 设-|||-反射波不衰减,求:-|||-(1)入射波和反射波的波函数;-|||-(2)驻波波函数;-|||-(3)驻波波腹和波节的位置.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定入射波的波函数
入射波沿x轴正方向传播，波速为$u=40m\cdot {s}^{-1}$，在坐标原点O引起的振动为${y}_{0}=A\cos (10\pi t+\dfrac {\pi }{2})$。根据波函数的一般形式$y=A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中$\omega$是角频率，$k$是波数，$\phi$是初相位。由于波速$u=\omega/k$，可以得到$\omega=ku$。因此，入射波的波函数为${y}_{\lambda }=A\cos [ 10\pi (t-\dfrac {x}{40})+\dfrac {\pi }{2}]$。
步骤 2：确定反射波的波函数
反射波在波密媒质反射面M处反射，由于反射面为波密媒质，反射波的相位将发生$\pi$的相位突变。因此，反射波的波函数为${y}_{R}=A\cos [ 10\pi (t+\dfrac {x}{40})+\dfrac {\pi }{2}+\pi]$。简化后得到${y}_{R}=A\cos [ 10\pi (t+\dfrac {x}{40})+\dfrac {3\pi }{2}]$。
步骤 3：确定驻波的波函数
入射波和反射波叠加形成驻波，驻波的波函数为${y}_{驻}=y_{\lambda}+y_{R}$。将入射波和反射波的波函数代入，得到${y}_{驻}=A\cos [ 10\pi (t-\dfrac {x}{40})+\dfrac {\pi }{2}]+A\cos [ 10\pi (t+\dfrac {x}{40})+\dfrac {3\pi }{2}]$。利用三角函数的和差化积公式，可以得到${y}_{驻}=2A\cos \dfrac {\pi }{4}x\cos (10\pi t+\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 4：确定驻波波腹和波节的位置
驻波波腹的位置满足$\cos \dfrac {\pi }{4}x=1$，即$\dfrac {\pi }{4}x=2k\pi$，解得$x=8k$，其中$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$。驻波波节的位置满足$\cos \dfrac {\pi }{4}x=0$，即$\dfrac {\pi }{4}x=(2k+1)\pi$，解得$x=4(2k+1)$，其中$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$。
入射波沿x轴正方向传播，波速为$u=40m\cdot {s}^{-1}$，在坐标原点O引起的振动为${y}_{0}=A\cos (10\pi t+\dfrac {\pi }{2})$。根据波函数的一般形式$y=A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中$\omega$是角频率，$k$是波数，$\phi$是初相位。由于波速$u=\omega/k$，可以得到$\omega=ku$。因此，入射波的波函数为${y}_{\lambda }=A\cos [ 10\pi (t-\dfrac {x}{40})+\dfrac {\pi }{2}]$。
步骤 2：确定反射波的波函数
反射波在波密媒质反射面M处反射，由于反射面为波密媒质，反射波的相位将发生$\pi$的相位突变。因此，反射波的波函数为${y}_{R}=A\cos [ 10\pi (t+\dfrac {x}{40})+\dfrac {\pi }{2}+\pi]$。简化后得到${y}_{R}=A\cos [ 10\pi (t+\dfrac {x}{40})+\dfrac {3\pi }{2}]$。
步骤 3：确定驻波的波函数
入射波和反射波叠加形成驻波，驻波的波函数为${y}_{驻}=y_{\lambda}+y_{R}$。将入射波和反射波的波函数代入，得到${y}_{驻}=A\cos [ 10\pi (t-\dfrac {x}{40})+\dfrac {\pi }{2}]+A\cos [ 10\pi (t+\dfrac {x}{40})+\dfrac {3\pi }{2}]$。利用三角函数的和差化积公式，可以得到${y}_{驻}=2A\cos \dfrac {\pi }{4}x\cos (10\pi t+\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 4：确定驻波波腹和波节的位置
驻波波腹的位置满足$\cos \dfrac {\pi }{4}x=1$，即$\dfrac {\pi }{4}x=2k\pi$，解得$x=8k$，其中$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$。驻波波节的位置满足$\cos \dfrac {\pi }{4}x=0$，即$\dfrac {\pi }{4}x=(2k+1)\pi$，解得$x=4(2k+1)$，其中$k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$。