题目

3.一定量的理想气体从状态(p1,V)出发,到达另一状态 ((p)_(2),dfrac (v)(2)), 一次是等温压缩到 dfrac (v)(2), 外-|||-界做功A;另一次为绝热压缩到 V/2, 外界做功W.比较这两次外界做功数值的大小,有-|||-()-|||-(A) gt W (B) A=W-|||-(C) lt W (D)条件不够,不能比较

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查理想气体在等温过程和绝热过程中外界做功的比较，需要理解功是过程量，并掌握两种过程的压强变化规律。

解题核心思路：

  1. 功的计算公式：外界对气体做功为 $W = \int_{V_1}^{V_2} P_{\text{外}} \, dV$，其中 $P_{\text{外}}$ 是外界作用于气体的压强。
  2. 等温过程：压强 $P$ 与体积 $V$ 成反比（$PV = \text{常数}$），压强变化仅由分子数密度 $n$ 增大引起。
  3. 绝热过程：压强 $P$ 与体积 $V$ 的关系为 $PV^\gamma = \text{常数}$（$\gamma > 1$），压强变化由 $n$ 增大和温度升高共同导致。
  4. 关键结论：在相同体积变化 $\Delta V$ 下，绝热过程的压强升高更大，因此外界做功更多。

过程分析

等温压缩过程

  • 初始状态：$(P_1, V)$，终态体积 $V/2$。
  • 根据理想气体状态方程 $PV = nRT$，等温时 $P \propto 1/V$，终态压强为 $P_2 = 2P_1$。
  • 外界做功为：
    $W_{\text{等温}} = \int_{V}^{V/2} P_{\text{外}} \, dV = \int_{V}^{V/2} \frac{nRT}{V} \, dV = nRT \ln 2.$

绝热压缩过程

  • 初始状态：$(P_1, V)$，终态体积 $V/2$。
  • 根据绝热方程 $PV^\gamma = \text{常数}$，终态压强为 $P_2 = P_1 \left( \frac{V}{V/2} \right)^\gamma = 2^\gamma P_1$（$\gamma > 1$）。
  • 外界做功为：
    $W_{\text{绝热}} = \int_{V}^{V/2} P_{\text{外}} \, dV = \int_{V}^{V/2} \frac{P_1 V^\gamma}{V^\gamma} \cdot \frac{1}{V} \, dV = \frac{P_1 V^\gamma}{\gamma - 1} \left( \frac{1}{(V/2)^{\gamma-1}} - \frac{1}{V^{\gamma-1}} \right).$
    化简后可得 $W_{\text{绝热}} > W_{\text{等温}}$。

关键结论

  • 绝热过程的压强升高更快，因此在相同体积变化 $\Delta V$ 下，外界在绝热过程中需施加更大的平均压强，做功更多。