2在半径为R的“无限长”半圆柱形金属薄片中,有电流I自下而上均匀流过,如图所试求圆柱轴线上一点P的磁感应强度

本题考查毕奥 - 萨伐尔定律以及利用微元法求解磁场的知识。解题思路是将半圆柱形金属薄片分割成许多宽为 $d l$ 的细长条，把每个细长条看作长直电流，先求出每个长直电流在轴线上产生的磁感应强度，再根据对称性分析各分量，最后通过积分求出轴线上总的磁感应强度。

详细解答

1. 将半圆柱面分割成细长条并视为长直电流
   • 半圆柱面的周长为 $\pi R$，电流 $I$ 均匀流过半圆柱面，那么单位长度上的电流为 $\frac{I}{\pi R}$。
   • 取宽为 $d l = R d\theta$ 的细长条（$\theta$ 是从某一参考方向开始的角度），该细长条的电流强度 $dI$ 为：
     • $dI=\frac{I}{\pi R}\cdot R d\theta=\frac{I}{\pi}d\theta$
2. 求每个长直电流在轴线上产生的磁感应强度
   • 根据长直电流的磁感应强度公式 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$（其中 $r$ 是到长直电流的距离），对于轴线上的点 $P$，$r = R$，则该细长条电流 $dI$ 在轴线上产生的磁感应强度 $dB$ 为：
     • $dB=\frac{\mu_0 dI}{2\pi R}$
   • 将 $dI=\frac{I}{\pi}d\theta$ 代入上式，可得：
     • $dB=\frac{\mu_0}{2\pi R}\cdot\frac{I}{\pi}d\theta=\frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R}d\theta$
3. 分析 $dB$ 的方向并分解
   • 由右手螺旋定则可知，$dB$ 的方向垂直于 $dI$ 与 $P$ 点的连线。设 $dB$ 与 $x$ 轴正方向夹角为 $\theta$，将 $dB$ 分解为 $dB_x$ 和 $dB_y$ 两个分量：
     • $dB_x=-dB\sin\theta=-\frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R}\sin\theta d\theta$
     • $dB_y = dB\cos\theta=\frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R}\cos\theta d\theta$
4. 根据对称性分析 $B_y$ 并积分求 $B_x$
   • 由于半圆柱面关于 $x$ 轴对称，对于任意一个角度 $\theta$ 的细长条电流，在对称位置 $\pi - \theta$ 处的细长条电流产生的 $dB_y$ 大小相等、方向相反，所以轴线上 $B_y = 0$。
   • 对 $dB_x$ 进行积分求 $B_x$，积分区间为 $[0,\pi]$：
     • $B_x=\int_{0}^{\pi}dB_x=\int_{0}^{\pi}-\frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R}\sin\theta d\theta$
     • 根据积分公式 $\int\sin\theta d\theta=-\cos\theta + C$，可得：
     • $B_x=-\frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R}[-\cos\theta]_0^{\pi}$
     • $=-\frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R}[(-\cos\pi)-(-\cos0)]$
     • $=-\frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R}(1 + 1)=-\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R}$
5. 求轴线上总的磁感应强度 $B$
   • 因为 $B_y = 0$，所以轴线上的磁感应强度 $B = B_x=-\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R}$，负号表示方向沿 $x$ 轴负方向。