题目
某天然矿含放射性元素铀(U),其蜕变反应为:-|||-.xrightarrow (KU)... arrow Raxrightarrow ({K)_(Aa)}... arrow Pb .-|||-设已达稳态放射蜕变平衡,测得镭与铀的浓度比为 [ Ra] /[ U] =3.47times (10)^-7 ,稳定-|||-产物铅与铀的浓度比为 [ Pb] /[ U] =0.1792 ,已知镭的半衰期为1580年。-|||-(1)求铀的半衰期;-|||-(2)估计此矿的地质年龄(计算时可作适当近似)。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定铀的半衰期
放射性元素的蜕变反应为一级反应，当达到稳态放射蜕变平衡时，任何中间产物的浓度都不随时间而改变。因此，对于中间产物镭而言，在稳态时有：$\dfrac {d[ Ra] }{dt}={k}_{U}[ U] -{k}_{{R}_{a}}[ Ra] =0$。由此可得：$\dfrac {{k}_{v}}{{k}_{Ra}}=\dfrac {[ {R}_{a}] }{[ U] }=3.47\times {10}^{-7}$。已知镭的半衰期为1580年，可得镭的衰变常数${k}_{{a}_{4}}=\dfrac {\ln 2}{{t}_{22}({R}_{a})}=\dfrac {\ln 2}{1580}=4.386\times {10}^{-4}{y}^{-1}$。由此可得铀的衰变常数${k}_{v}=1.522\times {10}^{-10}{y}^{-1}$，进而可得铀的半衰期${t}_{12}(v)=\dfrac {\ln 2}{{k}_{v}}=\dfrac {\ln 2}{1.522\times {10}^{-10}}=4.55\times {10}^{5}y$。
步骤 2：估计此矿的地质年龄
达稳态平衡时，铀的消耗量等于铅的生成量，忽略其他中间物的量，则铀的初始浓度为：$[ {U}_{0}] =[ U] +[ Pb]$。由此可得：$\ln \dfrac {[ {U}_{0}] }{[ U] }=\ln \dfrac {[ U] +[ Pb] }{[ U] }=\ln (1+\dfrac {[ {P}_{b}] }{[ C] })=ma$。已知$[ Pb] /[ U] =0.1792$，可得：$\ln (1+0.1792)=1.522\times {10}^{-10}t$。由此可得此矿的地质年龄$t=1.08\times {10}^{9}y$。
放射性元素的蜕变反应为一级反应，当达到稳态放射蜕变平衡时，任何中间产物的浓度都不随时间而改变。因此，对于中间产物镭而言，在稳态时有：$\dfrac {d[ Ra] }{dt}={k}_{U}[ U] -{k}_{{R}_{a}}[ Ra] =0$。由此可得：$\dfrac {{k}_{v}}{{k}_{Ra}}=\dfrac {[ {R}_{a}] }{[ U] }=3.47\times {10}^{-7}$。已知镭的半衰期为1580年，可得镭的衰变常数${k}_{{a}_{4}}=\dfrac {\ln 2}{{t}_{22}({R}_{a})}=\dfrac {\ln 2}{1580}=4.386\times {10}^{-4}{y}^{-1}$。由此可得铀的衰变常数${k}_{v}=1.522\times {10}^{-10}{y}^{-1}$，进而可得铀的半衰期${t}_{12}(v)=\dfrac {\ln 2}{{k}_{v}}=\dfrac {\ln 2}{1.522\times {10}^{-10}}=4.55\times {10}^{5}y$。
步骤 2：估计此矿的地质年龄
达稳态平衡时，铀的消耗量等于铅的生成量，忽略其他中间物的量，则铀的初始浓度为：$[ {U}_{0}] =[ U] +[ Pb]$。由此可得：$\ln \dfrac {[ {U}_{0}] }{[ U] }=\ln \dfrac {[ U] +[ Pb] }{[ U] }=\ln (1+\dfrac {[ {P}_{b}] }{[ C] })=ma$。已知$[ Pb] /[ U] =0.1792$，可得：$\ln (1+0.1792)=1.522\times {10}^{-10}t$。由此可得此矿的地质年龄$t=1.08\times {10}^{9}y$。