若点电荷 q_1 = q 位于点 P_1 (-a, 0, 0), 另一点电荷 q_2 = -2q 位于点 P_2 (a, 0, 0), 则此空间的零电位面是以____为圆心,____为半径的球面。

本题考查点电荷的电位公式以及零电位面的求解。解题的关键思路是先根据点电荷电位公式写出空间中任意一点的电位表达式，再令电位为零，得到零电位面的方程，最后通过化简方程确定圆心和半径。

步骤一：写出点电荷电位公式

点电荷 $q$ 在距离其 $r$ 处产生的电位为 $V = \frac{kq}{r}$，其中 $k$ 为静电力常量。

步骤二：计算空间中任意一点 $(x,y,z)$ 的电位

设空间中任意一点为 $(x,y,z)$，点电荷 $q_1 = q$ 位于点 $P_1 (-a, 0, 0)$，则该点到 $q_1$ 的距离 $r_1$ 为：
$r_1 = \sqrt{(x + a)^2 + y^2 + z^2}$
点电荷 $q_2 = -2q$ 位于点 $P_2 (a, 0, 0)$，则该点到 $q_2$ 的距离 $r_2$ 为：
$r_2 = \sqrt{(x - a)^2 + y^2 + z^2}$
那么该点的总电位 $V$ 为 $q_1$ 和 $q_2$ 产生电位的叠加，即：
$V = \frac{kq_1}{r_1} + \frac{kq_2}{r_2} = \frac{kq}{\sqrt{(x + a)^2 + y^2 + z^2}} + \frac{k(-2q)}{\sqrt{(x - a)^2 + y^2 + z^2}}$

步骤三：令电位为零，得到零电位面方程

因为零电位面处电位 $V = 0$，所以有：
$\frac{kq}{\sqrt{(x + a)^2 + y^2 + z^2}} + \frac{k(-2q)}{\sqrt{(x - a)^2 + y^2 + z^2}} = 0$
两边同时除以 $kq$（$k\neq0$，$q\neq0$）可得：
$\frac{1}{\sqrt{(x + a)^2 + y^2 + z^2}} - \frac{2}{\sqrt{(x - a)^2 + y^2 + z^2}} = 0$
移项得到：
$\frac{2}{\sqrt{(x - a)^2 + y^2 + z^2}} = \frac{1}{\sqrt{(x + a)^2 + y^2 + z^2}}$
交叉相乘可得：
$2\sqrt{(x + a)^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(x - a)^2 + y^2 + z^2}$
两边同时平方可得：
$4((x + a)^2 + y^2 + z^2) = (x - a)^2 + y^2 + z^2$
展开括号得：
$4(x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2) = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2$
$4x^2 + 8ax + 4a^2 + 4y^2 + 4z^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2$
移项合并同类项得：
$4x^2 - x^2 + 8ax + 2ax + 4a^2 - a^2 + 4y^2 - y^2 + 4z^2 - z^2 = 0$
$3x^2 + 10ax + 3a^2 + 3y^2 + 3z^2 = 0$
两边同时除以 3 得：
$x^2 + \frac{10}{3}ax + a^2 + y^2 + z^2 = 0$
配方可得：
$x^2 + \frac{10}{3}ax + (\frac{5}{3}a)^2 - (\frac{5}{3}a)^2 + a^2 + y^2 + z^2 = 0$
$(x + \frac{5}{3}a)^2 - \frac{25}{9}a^2 + a^2 + y^2 + z^2 = 0$
$(x + \frac{5}{3}a)^2 - \frac{16}{9}a^2 + y^2 + z^2 = 0$
移项得：
$(x + \frac{5}{3}a)^2 + y^2 + z^2 = (\frac{4}{3}a)^2$

步骤四：确定圆心和半径

根据球面方程的标准形式 $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为圆心坐标，$R$ 为半径。
可知零电位面是以 $(-\frac{5}{3}a, 0, 0)$ 为圆心，$\frac{4}{3}a$ 为半径的球面。