题目
试证明：同轴线单位长度的静电储能 W_( {o )}=(q_( {l )}^2)/(2C)，式中 q_( {l )} 为单位长度上的电荷量，C 为单位长度上的电容。
试证明：同轴线单位长度的静电储能 $W_{\text {o }}=\frac{q_{\text {l }}^{2}}{2C}$，式中 $q_{\text {l }}$ 为单位长度上的电荷量，$C$ 为单位长度上的电容。
题目解答
答案
根据同轴线电场分布 $ E(r) = \frac{q_L}{2\pi \epsilon r} $，单位长度的电场能量为：
\[
W_e = \int_{a}^{b} \frac{q_L^2}{8\pi^2 \epsilon r^2} \cdot 2\pi r \, dr = \frac{q_L^2}{4\pi \epsilon} \ln\left( \frac{b}{a} \right)
\]
由同轴线电容公式 $ C = \frac{2\pi \epsilon}{\ln\left( \frac{b}{a} \right)} $，可得：
\[
\ln\left( \frac{b}{a} \right) = \frac{2\pi \epsilon}{C}
\]
将此代入 $ W_e $：
\[
W_e = \frac{q_L^2}{4\pi \epsilon} \cdot \frac{2\pi \epsilon}{C} = \frac{q_L^2}{2C}
\]
最终结论：$ W_e = \frac{q_L^2}{2C} $。