题目

一容积为 0.15 , (m)^3 的气罐，内装有 p_1 = 0.55 , (MPa)、t_1 = 38 , (℃) 的氧气。今对氧气加热，其温度、压力都将升高。罐上装有压力控制阀，当压力超过 0.7 , (MPa) 时阀门自动打开，放走部分氧气，使罐中维持最大压力 0.7 , (MPa)。问当罐中氧气温度为 285 , (℃) 时，共加入了多少热量？设氧气的比热容为定值，且 c_v = 0.657 , (kJ) / ((kg) cdot (K))，c_p = 0.917 , (kJ) / ((kg) cdot (K))。

一容积为 $0.15 \, \text{m}^3$ 的气罐，内装有 $p_1 = 0.55 \, \text{MPa}$、$t_1 = 38 \, \text{℃}$ 的氧气。今对氧气加热，其温度、压力都将升高。罐上装有压力控制阀，当压力超过 $0.7 \, \text{MPa}$ 时阀门自动打开，放走部分氧气，使罐中维持最大压力 $0.7 \, \text{MPa}$。问当罐中氧气温度为 $285 \, \text{℃}$ 时，共加入了多少热量？设氧气的比热容为定值，且 $c_v = 0.657 \, \text{kJ} / (\text{kg} \cdot \text{K})$，$c_p = 0.917 \, \text{kJ} / (\text{kg} \cdot \text{K})$。

题目解答

答案

根据题意，初始质量 $ m_1 = \frac{p_1 V}{R T_1} = \frac{0.55 \times 10^6 \times 0.15}{260 \times 311} \approx 1.02 \, \text{kg} $。 阀门打开时，$ T_{\text{open}} = \frac{p_{\text{max}} T_1}{p_1} = \frac{0.7}{0.55} \times 311 \approx 395.6 \, \text{K} $。 最终质量 $ m_2 = \frac{p_2 V}{R T_2} = \frac{0.7 \times 10^6 \times 0.15}{260 \times 558} \approx 0.724 \, \text{kg} $。 加入的热量为： \[ Q = m_1 c_V (T_{\text{open}} - T_1) + m_2 c_V (T_2 - T_{\text{open}}) + (m_1 - m_2) c_p T_{\text{open}} \] \[ Q = 1.02 \times 0.657 \times 84.6 + 0.724 \times 0.657 \times 162.4 + 0.296 \times 0.917 \times 395.6 \] \[ Q = 56.7 + 77.3 + 107.6 = 241.6 \, \text{kJ} \] 最终结果：$ Q \approx 241.6 \, \text{kJ} $。

解析

本题考查理想气体状态方程以及热量计算的相关知识。解题的关键思路是将整个加热过程分为两个阶段：一是从初始状态加热到阀门打开的状态，二是从阀门打开到最终状态。在计算热量时，需要分别考虑这两个阶段气体内能的变化以及放气过程中气体带走的热量。

  1. 计算初始质量 $m_1$：
    • 根据理想气体状态方程 $pV = mRT$，变形可得 $m=\frac{pV}{RT}$。
    • 已知 $p_1 = 0.55\times10^6\ Pa$，$V = 0.15\ m^3$，氧气的气体常数 $R = 260\ J/(kg\cdot K)$，$t_1 = 38^{\circ}C=(38 + 273)K = 311\ K$。
    • 则 $m_1=\frac{p_1V}{RT_1}=\frac{0.55\times10^6\times0.15}{260\times311}\approx1.02\ kg$。
  2. 计算阀门打开时的温度 $T_{open}$：
    • 因为在阀门打开前，气罐体积 $V$ 不变，根据理想气体状态方程 $\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_{max}}{T_{open}}$，变形可得 $T_{open}=\frac{p_{max}T_1}{p_1}$。
    • 已知 $p_{max}=0.7\times10^6\ Pa$，$p_1 = 0.55\times10^6\ Pa$，$T_1 = 311\ K$。
    • 则 $T_{open}=\frac{0.7}{0.55}\times311\approx395.6\ K$。
  3. 计算最终质量 $m_2$：
    • 同样根据理想气体状态方程 $m=\frac{pV}{RT}$。
    • 已知 $p_2 = 0.7\times10^6\ Pa$，$V = 0.15\ m^3$，$R = 260\ J/(kg\cdot K)$，$t_2 = 285^{\circ}C=(285 + 273)K = 558\ K$。
    • 则 $m_2=\frac{p_2V}{RT_2}=\frac{0.7\times10^6\times0.15}{260\times558}\approx0.724\ kg$。
  4. 计算加入的热量 $Q$：
    • 加入的热量 $Q$ 由三部分组成：
      • 第一部分是初始质量 $m_1$ 的气体从 $T_1$ 加热到 $T_{open}$ 吸收的热量 $Q_1=m_1c_V(T_{open}-T_1)$。
      • 第二部分是最终质量 $m_2$ 的气体从 $T_{open}$ 加热到 $T_2$ 吸收的热量 $Q_2=m_2c_V(T_2 - T_{open})$。
      • 第三部分是放气过程中，放出的气体 $(m_1 - m_2)$ 在 $T_{open}$ 温度下具有的焓，即 $(m_1 - m_2)c_pT_{open}$。
    • 已知 $c_V = 0.657\ kJ/(kg\cdot K)$，$c_p = 0.917\ kJ/(kg\cdot K)$，$T_1 = 311\ K$，$T_{open}=395.6\ K$，$T_2 = 558\ K$，$m_1 = 1.02\ kg$，$m_2 = 0.724\ kg$。
    • $Q_1=1.02\times0.657\times(395.6 - 311)=1.02\times0.657\times84.6\approx56.7\ kJ$。
    • $Q_2=0.724\times0.657\times(558 - 395.6)=0.724\times0.657\times162.4\approx77.3\ kJ$。
    • 放出气体质量 $\Delta m=m_1 - m_2=1.02 - 0.724 = 0.296\ kg$，这部分气体带走的热量 $Q_3=(m_1 - m_2)c_pT_{open}=0.296\times0.917\times395.6\approx107.6\ kJ$。
    • 所以 $Q = Q_1+Q_2+Q_3=56.7 + 77.3+107.6 = 241.6\ kJ$。