有一劲度系数为 k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为 m 的小球。先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触。再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止。在此过程中外力所作的功为 _______。

本题考查胡克定律、功的计算以及功能关系的知识。解题的关键思路是先根据胡克定律求出小球刚能脱离地面时弹簧的伸长量，再通过积分计算外力做功，也可以利用功能关系，由于小球未升高重力势能不变，外力做功等于弹簧弹性势能的增加量来求解。

1. 求弹簧伸长量：
   • 当小球刚能脱离地面时，小球受到重力 $mg$ 和弹簧的弹力 $F$ 作用，且这两个力平衡，即 $F = mg$。
   • 根据胡克定律 $F=kx$（其中 $F$ 是弹簧弹力，$k$ 是劲度系数，$x$ 是弹簧伸长量），可得 $mg = kx$，解得 $x=\frac{mg}{k}$。
2. 计算外力做功（方法一：积分法）：
   • 在缓慢提起弹簧的过程中，外力 $F_{外}$ 始终与弹簧弹力平衡，即 $F_{外}=kx'$（$x'$ 是弹簧在提起过程中的瞬时伸长量）。
   • 功的计算公式为 $W=\int_{a}^{b}Fdx$，这里外力做功 $W=\int_{0}^{x}kx'dx'$。
   • 根据积分公式 $\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），对 $\int_{0}^{x}kx'dx'$ 进行计算：
     • $W=k\int_{0}^{x}x'dx'=k\left[\frac{1}{2}x'^{2}\right]_{0}^{x}$。
     • 把 $x' = x$ 和 $x'=0$ 代入可得 $W=\frac{1}{2}kx^{2}$。
   • 再将 $x = \frac{mg}{k}$ 代入上式，得到 $W=\frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}=\frac{m^{2}g^{2}}{2k}$。
3. 计算外力做功（方法二：功能关系）：
   • 在此过程中，小球未升高，重力势能 $\Delta E_{p}=0$。
   • 根据功能关系，外力做功 $W$ 等于系统能量的变化量，这里系统能量变化量就是弹簧弹性势能的增加量 $\Delta E_{p弹}$。
   • 弹簧弹性势能公式为 $E_{p弹}=\frac{1}{2}kx^{2}$，初始弹性势能 $E_{p1}=0$，末态弹性势能 $E_{p2}=\frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}$。
   • 所以外力做功 $W=\Delta E_{p弹}=E_{p2}-E_{p1}=\frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}=\frac{m^{2}g^{2}}{2k}$。