题目

在直角坐标系中，加速度可表示为，vec(a)=(mathrm(d)^2x)/(mathrm(d)t^2)vec(i)+(mathrm(d)^2y)/(mathrm(d)t^2)vec(j)+(mathrm(d)^2z)/(mathrm(d)t^2)vec(k)=a_xvec(i)+a_yvec(j)+a_zvec(k)则加速度的大小为( )A |vec(a)|=(mathrm(d)^2x)/(mathrm(d)t^2)+(mathrm(d)^2y)/(mathrm(d)t^2)+(mathrm(d)^2z)/(mathrm(d)t^2)B a=|vec(a)|=sqrt(a_x^2+a_y^2+a_z^2)C |vec(a)|=a_x+a_y+a_zD |vec(a)|=sqrt((mathrm(d)^2x)/(mathrm{d)t^2)+(mathrm(d)^2y)/(mathrm(d)t^2)+(mathrm(d)^2z)/(mathrm(d)t^2)}

在直角坐标系中，加速度可表示为， $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\vec{i}+\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\vec{j}+\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}\vec{k}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$ 则加速度的大小为( ) A $|\vec{a}|=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}$ B $a=|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ C $|\vec{a}|=a_x+a_y+a_z$ D $|\vec{a}|=\sqrt{\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}}$

题目解答

答案

根据加速度的矢量表示 $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$，其大小为： \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{\left( \frac{d^2 x}{dt^2} \right)^2 + \left( \frac{d^2 y}{dt^2} \right)^2 + \left( \frac{d^2 z}{dt^2} \right)^2} \] 逐项分析： - A项错误，因未取平方和。 - B项正确，符合矢量模长公式。 - C项错误，未取平方和。 - D项错误，未分别平方。答案：B. $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

解析

本题考查知识点为矢量大小的计算，解题思路是依据矢量模长的计算公式来确定加速度矢量的大小。

在直角坐标系中，对于一个矢量 $\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}$，其大小（模长）的计算公式为 $|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$。

已知加速度 $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\vec{i}+\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}\vec{j}+\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}\vec{k}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$，这里 $a_x = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$，$a_y = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}$，$a_z = \frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}$。

根据上述矢量模长公式，加速度 $\vec{a}$ 的大小为：
$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}=\sqrt{(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2})^2 + (\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2})^2 + (\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2})^2}$

下面对各选项进行分析：

选项A：$|\vec{a}|=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}$，此式没有对各分量进行平方再求和，不符合矢量模长的计算公式，所以选项A错误。
选项B：$a = |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$，与我们根据公式计算得出的结果一致，所以选项B正确。
选项C：$|\vec{a}|=a_x + a_y + a_z$，同样没有对各分量进行平方再求和，不符合矢量模长的计算公式，所以选项C错误。
选项D：$|\vec{a}|=\sqrt{\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2}}$，没有对各分量分别平方，不符合矢量模长的计算公式，所以选项D错误。