题目
(本题10分)如图所示,一内半径为 a、外半径为b的金属球壳,带有电荷 Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点,试求:(1)球壳内外表面上的电荷.(2)球心0 点处,由球壳内表面上电荷产生的电势. (3)球心0点处的总电势.
(本题10分)如图所示,一内半径为 a、外半径为b的金属球壳,带有电荷 Q,在球壳空腔内距
离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点,试求:(1)球壳内外表面上的电荷.(2)球心0 点处,由球壳内表面上电荷产生的电势. (3)球心0点处的总电势.
题目解答
答案
解:(1)由静电感应,金属球壳的内表面上有感生电荷 -q,外表面上带电荷q+Q. 2分
(2)不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的,因为任一电荷元离 0点的距离都是a,所以由
这些电荷在0点产生的电势为
⏺
(3)球心0点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷 q在0点
产生的电势的代数和
Uo 二Uq U 乂 Uq q 5 分
解析
步骤 1：确定球壳内外表面上的电荷分布
由于金属球壳是导体，内部的电荷q会在球壳内表面感应出等量的负电荷-q，以保持球壳内部电场为零。因此，球壳内表面的电荷量为-q。球壳外表面的电荷量为Q+q，因为球壳整体带电荷Q，而内表面感应出的-q电荷需要在外表面补偿。
步骤 2：计算球心处由球壳内表面上电荷产生的电势
球壳内表面的电荷-q均匀分布在半径为a的球面上，球心处的电势由这些电荷产生。根据点电荷产生的电势公式，球心处的电势为：
$$U_{内} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 a}$$
其中，$\epsilon_0$是真空介电常数。
步骤 3：计算球心处的总电势
球心处的总电势是球壳内外表面上的电荷和点电荷q在球心处产生的电势的代数和。球壳外表面的电荷Q+q在球心处产生的电势为：
$$U_{外} = \frac{Q+q}{4\pi\epsilon_0 b}$$
点电荷q在球心处产生的电势为：
$$U_{q} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$$
因此，球心处的总电势为：
$$U_{总} = U_{内} + U_{外} + U_{q} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 a} + \frac{Q+q}{4\pi\epsilon_0 b} + \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$$
由于金属球壳是导体，内部的电荷q会在球壳内表面感应出等量的负电荷-q，以保持球壳内部电场为零。因此，球壳内表面的电荷量为-q。球壳外表面的电荷量为Q+q，因为球壳整体带电荷Q，而内表面感应出的-q电荷需要在外表面补偿。
步骤 2：计算球心处由球壳内表面上电荷产生的电势
球壳内表面的电荷-q均匀分布在半径为a的球面上，球心处的电势由这些电荷产生。根据点电荷产生的电势公式，球心处的电势为：
$$U_{内} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 a}$$
其中，$\epsilon_0$是真空介电常数。
步骤 3：计算球心处的总电势
球心处的总电势是球壳内外表面上的电荷和点电荷q在球心处产生的电势的代数和。球壳外表面的电荷Q+q在球心处产生的电势为：
$$U_{外} = \frac{Q+q}{4\pi\epsilon_0 b}$$
点电荷q在球心处产生的电势为：
$$U_{q} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$$
因此，球心处的总电势为：
$$U_{总} = U_{内} + U_{外} + U_{q} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 a} + \frac{Q+q}{4\pi\epsilon_0 b} + \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$$