习题七1.今有一弦，其两端x=0和x=2被钉子钉紧，做自由振动，它的初位移为varphi(x)=}hx(0leqslant xleqslant1),h(2-x)(1leqslant xleqslant2),初速度为0，试求其傅里叶解

本题考查弦的自由振动问题，采用分离变量法求解，核心是确定傅里叶级数中的系数$A_n$。

步骤1：弦振动方程的通解

弦的自由振动满足波动方程$u_{tt}=a^2u_{xx}$，边界条件$u(0,t)=u(2,t)=0$，初速度$u_t(x,0)=0$。
由分离变量法，设$u(x,t)=X(x)T(t)$，代入方程并分离变量得：
$X''+\lambda X=0,\quad T''+a^2\lambda T=0$
结合边界条件$X(0)=X(2)=0$，解得特征值$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{2}\right)^2$，特征函数$X_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)$。
时间部分$T_n(t)=\cos\left(\frac{n\pi a t}{2}\right)$（因因初速度为0，舍去正弦项），故通解为：
$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos\left(\frac{n\pi a t}{2}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)$

步骤2：计算系数$A_n$

由初位移$\varphi(x)=u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)$，故$A_n$是$\varphi(x)$的傅里叶正弦系数：
$A_n=\int_0^2\varphi(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)dx$
分段积分：
$A_n=h\left[\int_0^1x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)dx+\int_1^2(2-x)\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)dx\right]$

步骤3：分部积分计算积分

对$\int x\sin(kx)dx=-\frac{x}{k}\cos(kx)+\frac{1}{k^2}\sin(kx)$（$k=\frac{n\pi}{2}$）：

1. $\int_0^1x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)dx=\left[-\frac{2x}{n\pi}\cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)+\frac{4}{n^2\pi^2}\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^1=\frac{-\frac{2}{n\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac{4}{n^2\pi^2}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}\}$
2. $\int_1^2(2-x)\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)dx$，令$t=2-x$，则积分变为$\int_0^1t\sin\left(\frac{n\pi(2-t)}{2}\right)dt=\int_0^1t\sin\left(n\pi-\frac{n\pi t}{2}\right)dt=\int_0^1t\sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)dt$（因$\sin(n\pi-\theta)=\sin\theta$），结果与上式相同。

步骤4：合并结果

$A_n=h\left[2\left(-\frac{2}{n\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\frac\right)+2\cdot\frac{4}{n^2\pi^2}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right]$ （$\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$为整数倍$\pi$时余弦为0），化简得：
$A_n=\frac{8h}{n^2\pi^2}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$

最终解

代入通解得：
$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8h}{n^2\pi^2}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{n\pi a t}{2}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)$