2-9 试证明:倒格子原胞的体积 ^circ 与正格子原胞的体积Ω满足 Omega times Omega =8(pi )^3

步骤 1：定义正格子和倒格子的基矢
设正格子原胞的基矢为 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$，倒格子原胞的基矢为 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$。根据倒格子基矢的定义，有：
${b}_{1}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{2}\times {a}_{3}}{\Omega }$,
${b}_{2}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{3}\times {a}_{1}}{\Omega }$,
${b}_{3}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{1}\times {a}_{2}}{\Omega }$,
其中 $\Omega$ 是正格子原胞的体积。

步骤 2：计算倒格子原胞的体积
倒格子原胞的体积 ${\Omega }^{\prime }$ 可以通过基矢 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$ 的混合积来计算，即：
${\Omega }^{\prime }={b}_{1}\cdot ({b}_{2}\times {b}_{3})$。
将 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$ 的表达式代入，得到：
${\Omega }^{\prime }=\dfrac {{(2\pi )}^{3}}{{\Omega }^{3}}({a}_{2}\times {a}_{3})\cdot [ ({a}_{3}\times {a}_{1})\times ({a}_{1}\times {a}_{2})] $。
利用向量的双重向量积公式，可以进一步简化为：
${\Omega }^{\prime }=\dfrac {{(2\pi )}^{3}}{{\Omega }^{3}}({a}_{2}\times {a}_{3})\cdot {a}_{1}$。
由于 ${a}_{1}\times {a}_{2}\times {a}_{3}=\Omega$，所以：
${\Omega }^{\prime }=\dfrac {{(2\pi )}^{3}}{\Omega }$。

步骤 3：验证倒格子原胞体积与正格子原胞体积的关系
根据步骤 2 的结果，倒格子原胞的体积 ${\Omega }^{\prime }$ 与正格子原胞的体积 $\Omega$ 满足：
${\Omega }^{\prime }\cdot \Omega =\dfrac {{(2\pi )}^{3}}{\Omega }\cdot \Omega =8{\pi }^{3}$。